а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ BC  =  2. Через точку В и се­ре­ди­ну AD про­ве­де­на плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но диа­го­на­ли AC₁, а через точку D и се­ре­ди­ну ребра ВС про­ве­де­на плос­кость β па­рал­лель­но плос­ко­сти α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку A₁.

б)  Най­ди­те объем части па­рал­ле­ле­пи­пе­да, за­клю­чен­ный между плос­ко­стя­ми α и β.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1 100 000 руб­лей на срок 4 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года.

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

—  в пер­вые три года (2027, 2028 и 2029 гг.) за­ем­щик вы­пла­чи­ва­ет толь­ко на­чис­лен­ные про­цен­ты, остав­ляя тело кре­ди­та не­из­мен­ным.

В 2030 году за­ем­щик вы­би­ра­ет одну из двух стра­те­гий по­га­ше­ния остат­ка:

1)  Стра­те­гия «Рас­сроч­ка»: По­га­сить весь остав­ший­ся долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми в 2030 и 2031 годах.

2)  Стра­те­гия «До­сроч­ный рывок»: Вы­пла­тить в 2030 году фик­си­ро­ван­ную сумму, чтобы оста­ток долга на на­ча­ло 2031 года (сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов в ян­ва­ре) стал ровно в два раза мень­ше, чем он был бы при стра­те­гии «Рас­сроч­ка» в тот же мо­мент вре­ме­ни.

На сколь­ко руб­лей общая сумма вы­плат по вто­рой стра­те­гии будет мень­ше, чем по пер­вой, если во вто­ром слу­чае кре­дит также будет пол­но­стью по­га­шен в 2031 году?

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и CC₁. Из­вест­но, что а пло­щадь тре­уголь­ни­ка A₁BC₁ равна 

а)  До­ка­жи­те, что ка­са­тель­ная, про­ве­ден­ная к опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС окруж­но­сти в точке В, па­рал­лель­на пря­мой A₁C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка НА₁С₁, где Н  — ор­то­центр тре­уголь­ни­ка АВС.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня на от­рез­ке

Дано на­ту­раль­ное число n. За один ход раз­ре­ша­ет­ся либо при­ба­вить к числу его наи­боль­ший де­ли­тель, не рав­ный са­мо­му числу либо вы­честь из числа его наи­мень­ший де­ли­тель, боль­ший 1

а)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов из числа 4 по­лу­чить число 15?

б)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов из числа 10 по­лу­чить число 13?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ходов по­тре­бу­ет­ся, чтобы из числа 2 по­лу­чить число 60?