Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дит число 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как в пер­вые три года за­ем­щик вы­пла­чи­ва­ет на­чис­лен­ные про­цен­ты, к на­ча­лу 2030 года долг оста­нет­ся рав­ным 1 100 000 руб. Най­дем сумму вы­плат при вы­бо­ре стра­те­гии «Рас­сроч­ка». Пусть x  — раз­мер пла­те­жа. Так как долг по­га­ша­ет­ся двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми, по­лу­ча­ем:

Сумма вы­плат при вы­бо­ре этой стра­те­гии со­ста­вит

Най­дем сумму вы­плат при вы­бо­ре стра­те­гии «До­сроч­ный рывок». Опре­де­лим, каким был долг в на­ча­ле 2031 года, если бы была вы­бра­на стра­те­гия «Рас­сроч­ка»: Тогда при вы­бо­ре стра­те­гии «До­сроч­ный рывок» в на­ча­ле 2031 года после на­чис­ле­ния про­цен­тов долг будет равен Сле­до­ва­тель­но, до на­чис­ле­ния про­цен­тов долг равен На­хо­дим раз­мер вы­пла­ты, про­из­ве­ден­ной в 2030 году:

При вы­бо­ре стра­те­гии «До­сроч­ный рывок» сумма вы­плат со­ста­вит Это мень­ше, чем сумма вы­плат по пер­вой стра­те­гии на

Ответ: 60 000 руб.

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мая BL ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке B. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен впи­сан­но­му углу, опи­ра­ю­ще­му­ся на ту же хорду, по­это­му Углы AC₁C и AA₁C  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, точки C₁ и A₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AC. Из впи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка AC₁A₁C на­хо­дим Гра­дус­ные меры смеж­ных углов в сумме дают 180°, от­ку­да Таким об­ра­зом, при пе­ре­се­че­нии пря­мых A₁C₁ и BL се­ку­щей CB об­ра­зо­ва­лись рав­ные на­крест ле­жа­щие углы BLC и BA₁C₁, по­это­му эти пря­мые па­рал­лель­ны.

б)  По тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка на­хо­дим Длина ка­те­та, ле­жа­ще­го про­тив угла в 30°, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы, по­это­му из тре­уголь­ни­ков CA₁H, AC₁H, AA₁B и CC₁B со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков, име­ю­щих по рав­но­му углу, от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ния сто­рон, за­клю­ча­ю­щих этот угол, по­это­му

От­сю­да Че­ты­рех­уголь­ник C₁BA₁H можно впи­сать в окруж­ность, по­это­му

Пусть тогда Сле­до­ва­тель­но,

а по­то­му

Тре­уголь­ни­ки ABC и A₁BC₁ по­доб­ны по двум углам, пло­щадь пер­во­го в че­ты­ре раза боль­ше вто­ро­го, по­это­му ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен  от­ку­да По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка HA₁C₁ по­лу­ча­ем:

то есть

Под­ста­нов­кой по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния в вы­ра­же­ние (*) на­хо­дим:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мая пло­щадь равна

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер,

б)  Пусть дано со­став­ное число, наи­боль­ший де­ли­тель ко­то­ро­го равен a, а наи­мень­ший  — b, кроме де­ли­те­лей n и 1. Сле­до­ва­тель­но, число равно ab, а по­лу­ча­ет­ся из него либо как либо как В пер­вом слу­чае ре­зуль­тат  — со­став­ное число. Во вто­ром слу­чае ре­зуль­тат может быть про­стым, но толь­ко если но тогда

Если же вы­пол­нять дей­ствия с про­стым чис­лом p, то из него по­лу­ча­ет­ся либо либо 0. Таким об­ра­зом, по­лу­чить число 13 нель­зя ни из числа 10, ни из ка­ко­го-либо дру­го­го.

в)  Рас­смот­рим це­поч­ку пре­вра­ще­ний

В ней 11 дей­ствий.

До­пу­стим, можно спра­вить­ся за 10 или менее дей­ствий. Если на каком-то шаге по­лу­ча­ет­ся число, ко­то­рое уже встре­ча­лось, то вы­пи­сы­вать его не будем, по­сколь­ку по­лу­чить его можно было рань­ше. Сле­до­ва­тель­но, 5 на­чаль­ных дей­ствий опре­де­ле­ны од­но­знач­но:

Оста­лось 5 или менее дей­ствий. При этом каж­дое дей­ствие уве­ли­чи­ва­ет число мак­си­мум в

Зна­чит, за 2 дей­ствия число может уве­ли­чить­ся мак­си­мум в  раз, за три  — мак­си­мум в  раз и так далее. Сле­до­ва­тель­но, на 9 дей­ствии нужно иметь число, не мень­шее 40, на вось­мом  — не мень­шее то есть не мень­шее 27, на седь­мом  — не мень­шее на ше­стом  — не мень­шее Таким об­ра­зом, число 12, по­лу­чен­ное на 5 дей­ствии, нель­зя умень­шать. Про­дол­жа­ем це­поч­ку:

Число 27 также уже нель­зя умень­шать, по­это­му

Из числа 54 по­лу­чить 60 за одно дей­ствие нель­зя, по­это­му для по­лу­че­ния из числа 2 числа 60 по­тре­бу­ет­ся ми­ни­мум 11 дей­ствий.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  11.