Дано натуральное число n. За один ход разрешается либо прибавить к числу его наибольший делитель, не равный самому числу 
либо вычесть из числа его наименьший делитель, больший 1 
а) Можно ли за несколько таких ходов из числа 4 получить число 15?
б) Можно ли за несколько таких ходов из числа 10 получить число 13?
в) Какое наименьшее количество ходов потребуется, чтобы из числа 2 получить число 60?
а) Да, например,
б) Пусть дано составное число, наибольший делитель которого равен a, а наименьший — b, кроме делителей n и 1. Следовательно, число равно ab, а получается из него либо как 
либо как 
В первом случае результат — составное число. Во втором случае результат может быть простым, но только если 
но тогда 
Если же выполнять действия с простым числом p, то из него получается либо 
либо 0. Таким образом, получить число 13 нельзя ни из числа 10, ни из какого-либо другого.
в) Рассмотрим цепочку превращений
В ней 11 действий.
Допустим, можно справиться за 10 или менее действий. Если на каком-то шаге получается число, которое уже встречалось, то выписывать его не будем, поскольку получить его можно было раньше. Следовательно, 5 начальных действий определены однозначно:
Осталось 5 или менее действий. При этом каждое действие увеличивает число максимум в
раза.
Значит, за 2 действия число может увеличиться максимум 
раз,
раз
то есть не меньшее 27, на седьмом — не меньшее 
на шестом — не меньшее 
Таким образом, число 12, полученное на 5 действии, нельзя уменьшать. Продолжаем цепочку:
Число 27 также уже нельзя уменьшать, поэтому
Из числа 54 получить 60 за одно действие нельзя, поэтому для получения из числа 2 числа 60 потребуется минимум 11 действий.
Ответ: а) да; б) нет; в) 11.