а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а вы­со­та пи­ра­ми­ды SO равна 6. На бо­ко­вом ребре SC от­ме­че­на точка K так, что SK : KC  =  1 : 2. Плос­кость γ про­хо­дит через точки A и K па­рал­лель­но диа­го­на­ли ос­но­ва­ния BD.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью γ яв­ля­ет­ся че­ты­рех­уголь­ни­ком, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вер­ши­на ко­то­рой  — точка C, а ос­но­ва­ние  — се­че­ние дан­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на срок 6 лет. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что наи­боль­ший го­до­вой пла­теж по кре­ди­ту со­ста­вит 3,2 мил­ли­о­на руб­лей, а общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 16,2 мил­ли­о­на руб­лей.

В тре­уголь­ни­ке ABC точка I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, а J  — центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны AC. Пусть r и r₁  — ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B к сто­ро­не AC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка AIC равна 10, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка AJC равна 15.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет 5 или 6 раз­лич­ных кор­ней.

На­зо­вем циф­ро­вым эхом на­ту­раль­но­го числа про­из­ве­де­ние суммы его цифр на ко­ли­че­ство цифр в этом числе. Число на­зы­ва­ет­ся гар­мо­нич­ным, если оно де­лит­ся на свое циф­ро­вое эхо без остат­ка. На­при­мер, для числа 135 ко­ли­че­ство цифр равно 3, сумма цифр 1 + 3 + 5  =  9.

Его циф­ро­вое эхо равно 3 · 9  =  27. Так как 135 де­лит­ся на 27 (135  =  5 · 27), число 135 яв­ля­ет­ся гар­мо­нич­ным.

а)  Может ли трёхзнач­ное число, со­став­лен­ное из трёх раз­лич­ных нечётных цифр, быть гар­мо­нич­ным?

б)  Су­ще­ству­ет ли четырёхзнач­ное гар­мо­нич­ное число, у ко­то­ро­го все цифры раз­лич­ны и нечётны?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее гар­мо­нич­ное число, боль­шее 1000.