На­зо­вем циф­ро­вым эхом на­ту­раль­но­го числа про­из­ве­де­ние суммы его цифр на ко­ли­че­ство цифр в этом числе. Число на­зы­ва­ет­ся гар­мо­нич­ным, если оно де­лит­ся на свое циф­ро­вое эхо без остат­ка. На­при­мер, для числа 135 ко­ли­че­ство цифр равно 3, сумма цифр 1 + 3 + 5  =  9.

Его циф­ро­вое эхо равно 3 · 9  =  27. Так как 135 де­лит­ся на 27 (135  =  5 · 27), число 135 яв­ля­ет­ся гар­мо­нич­ным.

а)  Может ли трёхзнач­ное число, со­став­лен­ное из трёх раз­лич­ных нечётных цифр, быть гар­мо­нич­ным?

б)  Су­ще­ству­ет ли четырёхзнач­ное гар­мо­нич­ное число, у ко­то­ро­го все цифры раз­лич­ны и нечётны?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее гар­мо­нич­ное число, боль­шее 1000.