В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а высота пирамиды SO равна 6. На боковом ребре SC отмечена точка K так, что SK : KC = 1 : 2. Плоскость γ проходит через точки A и K параллельно диагонали основания BD.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью γ является четырехугольником, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка C, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.
а) Пусть прямая AK пересекает высоту пирамиды SO в точке F. Проведем через эту точку прямую MN, параллельную диагонали основания BD, так, что точка M лежит на ребре SB, а точка N — на ребре SD. Следовательно, четырехугольник AMKN — сечение пирамиды, потому что оно содержит прямую MN, параллельную прямой BD.
Треугольник BSD — равнобедренный, подобный ему треугольник MSN также является равнобедренным, 
Значит, треугольники AMS и ANS равны по двум сторонам и углу между ними, аналогично равны треугольники MSK и NSK. Из доказанных равенств треугольников получаем: 
Высота равнобедренного треугольника является его медианой, поэтому 
Следовательно, отрезок AF — медиана равнобедренного треугольника AMN, а потому прямая AF перпендикулярна прямой MN.
б) Длина отрезка AO равна половине длины диагонали основания, то есть 
В прямоугольном треугольнике AOS по теореме Пифагора находим:
откуда 
Применим теорему косинусов в треугольнике ASC, получим:
Аналогично из треугольника ASK находим:
По теореме Менелая для треугольника OSC и прямой AK получаем:
а потому отрезок MN — средняя линия треугольника BSD, 
Высота пирамиды CAMKN, проведенная из вершины C, совпадает с высотой треугольника ACK, опущенной из той же точки. Пусть эта высота равна h, тогда выразим площадь треугольника ACK двумя способами, получим:
Таким образом, искомый объем равен
Ответ: б) 24.