В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, а J — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Пусть r и r1 — радиусы этих окружностей, а h — высота треугольника ABC, проведенная из вершины B к стороне AC.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника AIC равна 10, а площадь треугольника AJC равна 15.
а) Пусть точки P и Q — точки касания окружности и прямых BA и BC соответственно, точка N — точка касания окружности и прямой AC. Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому 
и 
Следовательно,
а потому 
Прямоугольные треугольники PBJ и BQJ равны по двум катетам, тогда
Прямоугольные треугольники PAJ и NAJ равны по двум катетам, аналогично равны прямоугольные треугольники CQJ и CNJ, тогда получаем:
Площадь треугольника ABC равна
С другой стороны, 
откуда 
Последовательно получаем:
б) Из условия получаем, что
Из доказанного в пункте а) находим:
Площадь треугольника ABC равна
Ответ: б) 60.
Примечание 1.
Данный в задаче треугольник ABC — тупоугольный, верное расположение фигур показано на рисунке справа, цветные точки — центры окружностей и точки касания, обозначенные в ходе решения. Выше использовался рисунок с произвольным треугольником ABC. Это не повлияло на правильность рассуждений.
Примечание 2.
Некоторые из полученных в ходе решения формул известны читателю, изучавшему вневписанные окружности.