Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

По­ка­жем, что при

Дей­стви­тель­но,

Итак, ре­ше­ни­я­ми за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида:

Эти же числа можно пред­ста­вить также в виде

б)  Отбор кор­ней:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­ме­стим за­дан­ный куб в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­су­нок 1.

Пусть M – се­ре­ди­на ребра AB, N  — се­ре­ди­на BC, P  — се­ре­ди­на CC₁. И пусть ребро куба равно Тогда: Со­ста­вим урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти.

Из пер­вых двух урав­не­ний си­сте­мы:

Ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид:

Най­дем ор­ди­на­ту Q, точки пе­ре­се­че­ния се­ку­щей плос­ко­сти αи ребра D₁C₁.

При абс­цис­са R, точки пе­ре­се­че­ния α и ребра A₁D₁, при ап­пли­ка­та S, точки пе­ре­се­че­ния α и ребра A₁A, при

Ше­сти­уголь­ник MNPQRS  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Най­дем ко­си­нус угла φ между плос­ко­стью α и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем куба. (урав­не­ние по­след­не­го имеет вид: z  =  0).

Нор­маль­ный век­тор плос­ко­сти α: нор­маль­ный век­тор ниж­не­го ос­но­ва­ния куба

Про­ек­ция се­че­ния на ниж­нее ос­но­ва­ние куба  — ше­сти­уголь­ник M₁N₁CQ₁R₁A, пло­щадь ко­то­ро­го равен

(ри­су­нок 2).

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x.

Далее за­дан­ное не­ра­вен­ство будем рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве

Так как для всех то на M:

С уче­том огра­ни­че­ний на x по­лу­чим:

Для пол­но­ты ре­ше­ния до­ка­жем, что Дей­стви­тель­но, Оче­вид­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния

В по тео­ре­ме Ме­не­лая:

Ана­ло­гич­но: в

в

Пе­ре­мно­жим левые и пра­вые части ра­венств (*), (**), (***). Будем иметь:

В итоге по­лу­ча­ем: что удо­вле­тво­ря­ет усло­вию тео­ре­мы Ме­не­лая от­но­си­тель­но при­над­леж­но­сти точек: одной пря­мой.

б)  Пусть   — сто­ро­ны При этом   — со­от­вет­ству­ю­щие его вы­со­ты. Тогда:

Итак,

По­лу­чи­ли сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC вы­ра­жа­ют­ся через а:

Пусть   — сто­ро­ны При этом   — со­от­вет­ству­ю­щие его вы­со­ты. Тогда:

Сто­ро­ны АВС :

Раз­де­лим почлен­но ра­вен­ство (4) на ра­вен­ство (2).

То есть

Из ра­венств (1) и (2) по­лу­чим: Сле­до­ва­тель­но, мы впра­ве ра­вен­ство (5) пе­ре­пи­сать так:

Раз­де­лив обе части ра­вен­ства (5*) на по­лу­чим:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть x  — ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых кон­тей­не­ров типа А, y  — ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров типа В, Тогда вес кон­тей­не­ров типа А со­ста­вит т, типа В  — 5у т. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Кроме того, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие:

Пусть S  — сум­мар­ная сто­и­мость всех кон­тей­не­ров. Тогда S  =  5x + 7y. Нам пред­сто­ит ис­сле­до­вать функ­цию S(x, y) на наи­боль­шее зна­че­ние при за­дан­ных усло­ви­ях.

Имеем: зна­чит,

Най­дем, при каком зна­че­нии у вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

По­сколь­ку x, y, а также сто­и­мо­сти кон­тей­не­ров  — числа на­ту­раль­ные, то Зна­чит,

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ное ре­ше­ние:

Вы­чис­лим зна­че­ние x при

Итак, ис­ко­мое зна­че­ние 220 млн. руб.

Ответ: 220 млн. руб.

При­ведём ариф­ме­ти­че­ское ре­ше­ние.

За­ме­тим, что кон­тей­нер типа А при­но­сит 2,5 млн руб. за тонну, а кон­тей­нер типа В  — 1,4 млн руб. за тонну, по­это­му кон­тей­не­ров типа А долж­но быть как можно боль­ше, а кон­тей­не­ров типа В как можно мень­ше. По усло­вию, на каж­дые 4 кон­тей­не­ра типа А долж­но при­хо­дить­ся не менее 5 кон­тей­не­ров типа B. Пусть кон­тей­не­ров типа А будет 4x, а кон­тей­не­ров типа B  — 5x, их общий вес со­ста­вит 8x + 25x  =  33x тонн. Гру­зо­подъёмность баржи 134 тонны, по­это­му наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние x  =  4.

Если x  =  4, то на баржу можно за­гру­зить 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа B, их сто­и­мость со­ста­вит 80 + 140  =  220 млн руб. При этом баржа будет не­до­гру­же­на на 2 тонны. За­ме­ним два кон­тей­не­ра типа А одним кон­тей­не­ром типа В. Сто­и­мость 14 кон­тей­не­ров типа А и 21 кон­тей­не­ра типа В со­став­ля­ет 70 + 147  =  217 млн руб., при этом баржа не­до­гру­же­на на 1 тонну. Можно было бы за­гру­зить баржу пол­но­стью, за­ме­нив ещё два кон­тей­не­ра типа А одним кон­тей­не­ром типа В, но при этом общая сто­и­мость кон­тей­не­ров снова бы сни­зи­лась на 3 млн руб. Из этого сле­ду­ет, что оп­ти­маль­но не за­гру­жать баржу пол­но­стью, а за­гру­зить на неё 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа В общей сто­и­мо­стью 220 млн руб.

При­ме­ча­ние.

Про­ве­рять из­ме­не­ние сто­и­мо­сти при до­за­груз­ке не пол­но­стью на­гру­жен­ной баржи  — обя­за­тель­ная часть ре­ше­ния. На­при­мер, если бы кон­тей­нер типа В стоил 11 млн руб., а дру­гие дан­ные за­да­чи не по­ме­ня­лись бы, то сто­и­мость 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа B со­ста­ви­ла бы 80 + 220  =  300 млн руб. (не­до­гру­же­но 2 тонны), сто­и­мость 14 кон­тей­не­ров типа А и 21 кон­тей­не­ра типа В со­ста­ви­ла бы 70 + 231  =  301 млн руб. (не­до­гру­же­на 1 тонна), а сто­и­мость 12 кон­тей­не­ров типа А и 22 кон­тей­не­ров типа В со­ста­ви­ла бы 302 млн руб.  — баржа за­гру­же­на пол­но­стью, при­быль мак­си­маль­на, даль­ней­шая за­ме­на кон­тей­не­ров типа А на кон­тей­не­ры типа В при­во­дит к умень­ше­нию при­бы­ли.

См. также ре­ше­ние за­да­ния 513295.

Ре­ше­ние. Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть Тогда за­да­чу можно будет пе­ре­фор­му­ли­ро­вать так: най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся для любых

По­сколь­ку в нашем слу­чае

Вве­дем функ­цию Она (функ­ция) квад­ра­тич­ная, гра­фик ее  — па­ра­бо­ла с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх. Для того чтобы числа 1 и были рас­по­ло­же­ны между кор­ня­ми этого квад­рат­но­го трех­чле­на, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вия:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске на­пи­са­но x по­ло­жи­тель­ных чисел, y от­ри­ца­тель­ных, и z нулей. Тогда из усло­вия по­лу­ча­ем ра­вен­ство: Таким об­ра­зом, де­лит­ся на 11, а зна­чит и де­лит­ся на 11. Так как боль­ше 122, но мень­ше 134, по­лу­ча­ем, что

б)  Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, По­лу­ча­ем, что от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше.

в)  Ис­поль­зуя ра­вен­ства и по­лу­ча­ем, что (1) и Под­став­ляя вы­ра­же­ние для y в не­ра­вен­ство (1), по­лу­чим, что До­ка­жем, что x может рав­нять­ся 60. Дей­стви­тель­но, пусть на доске 60 раз на­пи­са­но число 11 и 72 раза на­пи­са­но число -22. Тогда все усло­вия вы­пол­ня­ют­ся.

Ответ: а) 132; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 60.