Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

По­след­нее ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии двух усло­вий: и Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од функ­ция равен сле­до­ва­тель­но, эта функ­ция на от­рез­ке зна­че­ние, рав­ное 1, будет при­ни­мать ровно 7 раз. Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од функ­ции равен что сви­де­тель­ству­ет о том, что эта функ­ция свое зна­че­ние, рав­ное 1, на будет при­ни­мать ровно в 5 раз чаще, чем функ­ция Сле­до­ва­тель­но, обоим урав­не­ни­ям будут удо­вле­тво­рять лишь ре­ше­ния урав­не­ния Итак,

б)  За­ме­тим, что при

По­лу­чен­ное зна­че­ние пе­ре­мен­ной сов­па­да­ет левым кон­цом рас­смат­ри­ва­е­мо­го про­ме­жут­ка, зна­чит,

Од­на­ко, так как а

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­ме­стим приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Пусть ребра приз­мы равны t. Тогда имеем:

Най­дем урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти, ко­то­рая имеет вид: ax + by + cz + d  =  0. Пусть Так как точки A, F, C₁ лежат в этой плос­ко­сти, то:

Вы­чи­тая из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­чим: tb  =  0; b  =  0. Тогда:

Итак, ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: или Это  — урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти. Ее нор­маль­ный век­тор:

Итак, ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: или Это  — урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти. Ее нор­маль­ный век­тор:

Най­дем ко­ор­ди­на­ты пе­ре­се­че­ния се­ку­щей плос­ко­сти и пря­мых BB₁ и EE₁. Ис­ко­мая точка По­сколь­ку эта точка лежит на се­ку­щей плос­ко­сти, то

Таким об­ра­зом, се­ку­щая плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро BB₁ в точке то есть в се­ре­ди­не ребра BB₁. Ана­ло­гич­но най­дем точку L  — пе­ре­се­че­ние се­ку­щей плос­ко­сти и ребра EE₁. Также L ока­жет­ся се­ре­ди­ной ребра EE₁. Ясно, что се­че­ние будет про­хо­дить через вер­ши­ну D₁. Ис­ко­мым се­че­ни­ем будет ше­сти­уголь­ник AKC₁D₁LF.

б)  Урав­не­ние плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния приз­мы: z  =  0, ее нор­маль­ный век­тор

Если угол между се­ку­щей плос­ко­стью и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем приз­мы обо­зна­чить α, то

Ответ: б) 399.

Ре­ше­ние. Пусть

Тогда:

Но сле­до­ва­тель­но,

зна­чит,

а это в свою оче­редь озна­ча­ет, что:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть AB  =  BC  =  AC  =  a. Со­еди­ним от­рез­ка­ми точку M с вер­ши­на­ми И пусть рас­сто­я­ния от точки M до сто­рон AB, BC, ACтре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но b, c, d. Тогда

Это  — с одной сто­ро­ны. Но с дур­гой же сто­ро­ны, где h  — вы­со­та Сле­до­ва­тель­но, h  =  b + c + d, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)   зна­чит,

Ответ: а)

Ре­ше­ние. Мак­си­маль­ная сумма на счете будет в слу­чае, если Ва­си­лий все три раза вос­поль­зу­ет­ся пра­вом до­пол­ни­тель­но вне­сти 133 000 руб­лей на счёт.

1.  После пер­во­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 000 000 · 1,1  =  1 100 000 (руб.);

До­пол­ни­тель­ное по­пол­не­ние счета 1 100 000 + 133 000  =  1 233 000 (руб.);

2.  После вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 233 000 · 1,1  =  1 356 300 (руб.);

До­пол­ни­тель­ное по­пол­не­ние счета 1 356 300 + 133000  =  1 489 300 (руб.);

3.  После тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 489 300 · 1,1  =  1 638 230 (руб.);

До­пол­ни­тель­ное по­пол­не­ние счета 1 638 230 + 133 000  =  1 771 230 (руб.);

4.  После чет­вер­то­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 771 230 · 1,1  =  1 948 353 (руб.).

Ответ: 1 948 353 рубля.

Ре­ше­ние. При сто­я­щее под зна­ком мо­ду­ля вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но, а за­да­ю­щее функ­цию вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трех­чле­ном с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том:

При сто­я­щее под зна­ком мо­ду­ля вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но, а за­да­ю­щее функ­цию вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трех­чле­ном с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том:

Абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы в этом слу­чае

Если то наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции будет до­сти­гать­ся или в точке 4, или в точке 6. В осталь­ных слу­ча­ях наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции будет до­сти­гать­ся в точке Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции будет боль­ше −2 при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий  (⁎):

Решим первую си­сте­му  (⁎):

Решим вто­рую си­сте­му  (⁎):

Объ­еди­няя по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем, что или

Ответ: или

Ре­ше­ние. а)  Ясно, что число 35! крат­но 9. Тогда по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9 по­лу­ча­ем, что сумма его цифр, рав­ная де­лит­ся на 9. За­ме­тим, что по­это­му звез­доч­кой может быть за­ме­не­на толь­ко ше­стер­ка ( --- крат­но 9).

б)  До­ка­жем, что число 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} де­лит­ся на 133 при любом на­ту­раль­ном n. При­ме­ним метод ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции. Пусть Тогда

11^{n + 2} + 12^{2n + 1}=1331+1728=3059, а Пусть те­перь наше утвер­жде­ние верно для Тогда при по­лу­ча­ем:

В по­след­ней сумме пер­вое сла­га­е­мое де­лит­ся на 133 по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции, а вто­рое, оче­вид­но, тоже крат­но 133. По­это­му утвер­жде­ние пол­но­стью до­ка­за­но.

в)  Раз­ло­жим 133 на про­стые мно­жи­те­ли: Най­дем все числа, мень­шие 133, не вза­им­но про­стые с чис­лом 133. Это все числа, мень­шие 133, крат­ные 7, либо 19. Чисел, крат­ных 7 будет ровно 19-1=18 штук. Чисел, крат­ных 19, будет ровно 7-1=6 штук. При­чем ясно, что все эти 18+6=24 числа раз­лич­ны. Зна­чит, на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 133 и вза­им­но про­стых с 133 будет ровно 132-24=108 штук.

Ответ: а) 6, б) да, в) 108.