ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 512432 Добавить в вариант

Решите неравенство $\log _2 левая круглая скобка \log _3 левая круглая скобка \log _4 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка плюс 25 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка плюс 7=A;\log _4A плюс 25=B;\log _3B минус 1=C.C больше 0,B больше 0,A больше 0.$

Тогда: $\log _2C меньше или равно 1 равносильно \log _2C меньше или равно \log _22 равносильно 0 меньше C меньше или равно 2.$

Но $C=\log _3B минус 1,$ следовательно,

$0 меньше \log _3B минус 1 меньше или равно 2 равносильно 1 меньше \log _3B меньше или равно 3 равносильно \log _33 меньше \log _3B меньше или равно \log _327 равносильно 3 меньше B меньше или равно 27.$ $0 меньше \log _3B минус 1 меньше или равно 2 равносильно 1 меньше \log _3B меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно \log _33 меньше \log _3B меньше или равно \log _327 равносильно 3 меньше B меньше или равно 27.$

$B=\log _4A плюс 25,$

значит,

$3 меньше \log _4A плюс 25 меньше или равно 27 равносильно минус 22 меньше \log _4A меньше или равно 2 равносильно \log _4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби меньше \log _4A меньше или равно \log _416 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби меньше A меньше или равно 16.$ $3 меньше \log _4A плюс 25 меньше или равно 27 равносильно минус 22 меньше \log _4A меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно \log _4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби меньше \log _4A меньше или равно \log _416 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби меньше A меньше или равно 16.$

$A= логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка плюс 7,$

а это в свою очередь означает, что:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка плюс 7 меньше или равно 16 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби минус 7 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 9 равносильно 0 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 9 равносильно$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка плюс 7 меньше или равно 16 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби минус 7 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 9 равносильно 0 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 9 равносильно$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка плюс 7 меньше или равно 16 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка конец дроби минус 7 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 9 равносильно$
$равносильно 0 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 9 равносильно$

$равносильно минус 3 меньше или равно \log _5 левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно \log _5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно \log _5 левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно \log _5125 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно 133 минус 2x меньше или равно 125 равносильно$ $равносильно минус 3 меньше или равно \log _5 левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно \log _5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно \log _5 левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно \log _5125 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно 133 минус 2x меньше или равно 125 равносильно$ $равносильно минус 3 меньше или равно \log _5 левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно \log _5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно \log _5 левая круглая скобка 133 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно \log _5125 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно 133 минус 2x меньше или равно 125 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби минус 133 меньше или равно минус 2x меньше или равно минус 8 равносильно 8 меньше или равно 2x меньше или равно 133 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби равносильно$
$равносильно 8 меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 133 умножить на 125 минус 1, знаменатель: 125 конец дроби равносильно равносильно 4 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 133 умножить на 125 минус 1, знаменатель: 250 конец дроби равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби минус 133 меньше или равно минус 2x меньше или равно минус 8 равносильно$
$равносильно 8 меньше или равно 2x меньше или равно 133 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби равносильно 8 меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 133 умножить на 125 минус 1, знаменатель: 125 конец дроби равносильно$
$равносильно равносильно 4 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 133 умножить на 125 минус 1, знаменатель: 250 конец дроби равносильно$

$равносильно 4 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 16624, знаменатель: 250 конец дроби$ $равносильно$ $4 меньше или равно x меньше или равно 66,496.$

Ответ: $левая квадратная скобка 4;66,496 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 133

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь