В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P и Q — середины сторон AB и CD соответственно, точки E и F — середины AC и BD соответственно.
а) Докажите, что отрезок PQ делит точкой пересечения отрезок EF пополам.
б) Найдите EF, если BC = 12, AD = 14, а PQ = 8.
а) Отрезок PE — средняя линия треугольника ABC, поэтому прямые PE и BC параллельны и 
Аналогично получаем, что отрезок FQ — средняя линия треугольника BCD, то есть прямые FQ и BC параллельны и 
Следовательно, четырехугольник PEQF — параллелограмм по определению, его диагонали PQ и EF точкой пересечения делятся пополам.
б) Докажем лемму: в параллелограмме сумма квадратов длин всех сторон равна сумме квадратов длин диагоналей.
Рассмотрим параллелограмм KLMN (см. рис. 2). Пусть 
и 
По теореме косинусов для треугольников KLN и KMN соответственно получаем:
а потому
Лемма доказана.
Из доказанного в пункте а) находим, что 
Аналогично получаем, что 
Следовательно,
Ответ: 