Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лы при­ве­де­ния. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. Пусть тогда

В силу воз­рас­та­ния левой части урав­не­ние имеет не более од­но­го корня. Этот ко­рень можно найти под­бо­ром: При вы­ра­же­ния и имеют один знак. Тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Со­ста­вим гра­фик по­га­ше­ния кре­ди­та:

Номер ме­ся­ца	Долг	Часть пла­те­жа в упла­ту долга	Про­цен­ты
1	A		0,02A
2
...	...	...	...
12
...	...	...	...
36

Общая сумма пла­те­жей в 2027 году равна сумме пла­те­жей с 1 по 12 ме­ся­цы и со­став­ля­ет 4830 тыс. руб., то есть 4,83 млн руб. Имеем:

Таким об­ра­зом, пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на сумму 9 млн руб.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. а)  От­ре­зок PE  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му пря­мые PE и BC па­рал­лель­ны и Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что от­ре­зок FQ  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCD, то есть пря­мые FQ и BC па­рал­лель­ны и Сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник PEQF  — па­рал­ле­ло­грамм по опре­де­ле­нию, его диа­го­на­ли PQ и EF точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

б)  До­ка­жем лемму: в па­рал­ле­ло­грам­ме сумма квад­ра­тов длин всех сто­рон равна сумме квад­ра­тов длин диа­го­на­лей.

Рас­смот­рим па­рал­ле­ло­грамм KLMN (см. рис. 2). Пусть и По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков KLN и KMN со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

а по­то­му

Лемма до­ка­за­на.

Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) на­хо­дим, что Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, для по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 2, 3, 4, 75, 16, 17, 18, 5, 6, 7, 8, 59.

б)  По усло­вию сумма пер­вых вось­ми чисел долж­на рав­нять­ся как и сумма по­след­них вось­ми. С дру­гой сто­ро­ны, сумма всех чисел долж­на рав­нять­ся по­это­му сумма по­след­них пяти чисел долж­на рав­нять­ся что не­воз­мож­но для пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

в)  Пусть сумма трех чисел с но­ме­ра­ми от 6 до 8 равна x, тогда сумма пер­вых пяти и по­след­них пяти равна а общая сумма равна и общее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно Зна­чит, чем боль­ше x, тем мень­ше общее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское и на­о­бо­рот. Оста­лось найти гра­ни­цы для x.

Ясно, что по­это­му сред­нее не боль­ше Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для по­сле­до­ва­тель­но­сти 4, 5, 6, 7, 108, 1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 92.

С дру­гой сто­ро­ны, сумма всех чисел, кроме сред­них от­ку­да то есть Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние x равно 108 и общее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 11, 2, 9, 5, 35, 36, 37, 3, 4, 6, 7, 8.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)