Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что и пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии по­лу­ча­ем:

Най­ден­но­му зна­че­нию k со­от­вет­ству­ет ко­рень Рас­смот­рим вто­рую серию: за­ме­тим, что тогда

Най­ден­но­му зна­че­нию n со­от­вет­ству­ет ко­рень

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Пусть BM  =  4x, тогда B₁M  =  10x, C₁N  =  6x и NC  =  8x. Про­длим пря­мую NM до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем ребра BC. Точку их пе­ре­се­че­ния обо­зна­чим P. Зна­чит, в тре­уголь­ни­ке PNC от­ре­зок MB  — сред­няя линия, тогда PB  =  BC. В таком слу­чае че­ты­рех­уголь­ник PBDA  — па­рал­ле­ло­грамм, и его сто­ро­ны PA и BD па­рал­лель­ны. От­сю­да по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая BD па­рал­лель­на плос­ко­сти АМN.

б)  Про­ве­дем пря­мую NK па­рал­лель­но сто­ро­не ос­но­ва­ния СD так, что точка  K лежит на ребре DD₁. Тогда мно­го­гран­ник AKDBNC  — пря­мая приз­ма, объем ко­то­рой равен

Объем осталь­ной части равен Сле­до­ва­тель­но, мень­ший из объ­е­мов равен 36.

Ответ: б)  36.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Пусть тогда имеем

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть где r  — го­до­вая про­цент­ная став­ка по вкла­ду. Через пол­го­да на вклад будет вне­се­но 330 тыс. руб., а про­цен­ты будут на­чис­ле­ны на пер­во­на­чаль­ную сумму вкла­да  — 1000 тыс. руб. Через пол­го­да на вкла­де будет на­хо­дить­ся тыс. руб. Еще через 6 ме­ся­цев со счета будут сняты 1098 тыс. руб., а про­цен­ты будут на­чис­ле­ны на сумму тыс. руб. Таким об­ра­зом, через год после от­кры­тия вкла­да на нем будет на­хо­дить­ся тыс. руб. Еще через 6 ме­ся­цев будут на­чис­ле­ны про­цен­ты на остав­шу­ю­ся на вкла­де сумму, и к концу до­го­во­ра сумма на вкла­де будет равна тыс. руб­лей, что равно 428 тыс. руб. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Не­труд­но за­ме­тить, что число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дан­но­го урав­не­ния. Де­ле­ни­ем мно­го­чле­на на мно­го­член по­лу­ча­ем мно­го­член корни ко­то­ро­го суть и Из­вест­но, что по­это­му по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. а)  Пусть че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, а че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — ромб (см. рис.). Пусть от­рез­ки AC и LN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ков KN и LM, а также AB и CD по­пар­но па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но Кроме того, KN  =  LM, то есть равны тре­уголь­ни­ки AKN и CLM. От­сю­да AN  =  CL, тогда тре­уголь­ни­ки ANO и CLO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Итак, AO  =  CO, LO  =  NO, зна­чит, точка O яв­ля­ет­ся цен­тром и ромба, и па­рал­ле­ло­грам­ма.

б)  Из па­рал­лель­но­сти от­рез­ков KL и AC сле­ду­ет от­но­ше­ние BL : LC  =  BK : KA. Тогда

Зна­чит, За­пи­шем от­но­ше­ния пло­ща­дей:

По­лу­ча­ем:

Итак,

Ответ: б)  12 : 25.

Ре­ше­ние. Пусть тогда каж­до­му по­ло­жи­тель­но­му зна­че­нию t со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние x. Усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ние

имеет три по­ло­жи­тель­ных корня. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­стро­им гра­фик по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти в си­сте­ме ко­ор­ди­нат tOa при Гра­фик пер­во­го урав­не­ния   — па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, вер­ши­на в точке Гра­фик вто­ро­го урав­не­ния па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, вер­ши­на в точке Гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках и Ана­ли­зи­руя гра­фи­ки, по­лу­ча­ем, что со­во­куп­ность имеет три по­ло­жи­тель­ных корня при и

Ответ:

Ре­ше­ние. Ясно, что сумма чисел в каж­дом сле­ду­ю­щем M_i боль­ше, чем в преды­ду­щем, по­сколь­ку в нем боль­ше чисел и сами они боль­ше: пер­вое в M_i не мень­ше чем пер­вое в и так далее. Более того, есть еще по­след­нее лиш­нее число.

а)  На­при­мер, сумма этих чисел равна 89.

б)  На­при­мер, сумма этих чисел боль­ше чем по­это­му при сумма в M_i боль­ше 119, а при сумма не боль­ше 89. Зна­чит, сумма 119 не­до­сти­жи­ма.

в)  До ис­поль­зо­ва­но

чисел, то есть все числа до по два раза. Зна­чит,

Сумма этих чисел равна

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  250 050.