Вершины ромба расположены (по одной) на сторонах параллелограмма.
а) Докажите, что центры ромба и параллелограмма совпадают.
б) Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если известно, что стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, а диагонали параллелограмма относятся как 2 : 3.
а) Пусть четырехугольник ABCD — параллелограмм, а четырехугольник KLMN — ромб (см. рис.). Пусть отрезки AC и LN пересекаются в точке O. Стороны четырехугольников KN и LM, а также AB и CD попарно параллельны, следовательно, 
Аналогично 
Кроме того, KN = LM, то есть равны треугольники AKN и CLM. Отсюда AN = CL, тогда треугольники ANO и CLO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Итак, AO = CO, LO = NO, значит, точка O является центром и ромба, и параллелограмма.
б) Из параллельности отрезков KL и AC следует отношение BL : LC = BK : KA. Тогда
Значит, 
Запишем отношения площадей:
Получаем:
Итак,
Ответ: б) 12 : 25.