В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребрах BB1 и CC1 отмечены точки M, N соответственно такие, что BM : MB1 = 2 : 5, BM : NC1 = 2 : 3.
а) Докажите, что BD параллельна плоскости АМN.
б) Найдите меньший из объёмов, на которые плоскость ABN делит объем призмы, если AA1 = 14, AD = 3.
а) Пусть BM = 4x, тогда B1M = 10x, C1N = 6x и NC = 8x. Продлим прямую NM до пересечения с продолжением ребра BC. Точку их пересечения обозначим P. Значит, в треугольнике PNC отрезок MB — средняя линия, тогда PB = BC. В таком случае четырехугольник PBDA — параллелограмм, и его стороны PA и BD параллельны. Отсюда по признаку параллельности прямой и плоскости прямая BD параллельна плоскости АМN.
б) Проведем прямую NK параллельно стороне основания СD так, что точка K лежит на ребре DD1. Тогда многогранник AKDBNC — прямая призма, объем которой равен
Объем остальной части равен 
Следовательно, меньший из объемов равен 36.
Ответ: б) 36.