Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 677067
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 3 синус 2x = 4 плюс 3 ко­си­нус 2x.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 5 Пи ; 6 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что ко­си­нус x не равно 0, и пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 3 синус 2x = 4 плюс 3 ко­си­нус 2x рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 6 синус x ко­си­нус x = 4 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x минус 6 синус x ко­си­нус x плюс 5 ко­си­нус в квад­ра­те x=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но тан­генс в квад­ра­те x минус 6 тан­генс x плюс 5=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний тан­генс x =1, тан­генс x =5 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, x = арк­тан­генс 5 плюс Пи n, конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии по­лу­ча­ем:

5 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k мень­ше или равно 6 Пи рав­но­силь­но целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 мень­ше или равно k мень­ше или равно целая часть: 5, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 рав­но­силь­но k=5.

Най­ден­но­му зна­че­нию k со­от­вет­ству­ет ко­рень дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Рас­смот­рим вто­рую серию: за­ме­тим, что 0 мень­ше арк­тан­генс 5 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда

5 Пи мень­ше или равно арк­тан­генс 5 плюс Пи n мень­ше или равно 6 Пи рав­но­силь­но целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 мень­ше n мень­ше 6 рав­но­силь­но n=5.

Най­ден­но­му зна­че­нию n со­от­вет­ству­ет ко­рень арк­тан­генс 5 плюс 5 Пи .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k; арк­тан­генс 5 плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , арк­тан­генс 5 плюс 5 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 497
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на тан­генс или ко­тан­генс, Од­но­род­ные три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025