ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д16 C5 № 660400 Добавить в вариант

В банке берется кредит 12 600 000 рублей под 20% годовых. Платежи по кредиту вносятся ежегодно после начисления процентов и размер ежегодных платежей таков, что сумма долга каждый год, начиная со второго, уменьшается на величину, в два раза большую, чем в предыдущий год. Общая сумма платежей после полного погашения долга оказалась равна 25 440 000 рублей. На сколько лет взяли кредит?

Спрятать решение

Решение.

Пусть сумма S (в тыс. руб.) взята в кредит на n лет, а долг на начало второго года уменьшился на x тыс. руб. Составим таблицу по данным задачи.

Номер года	Долг на начало года	Долг на конец года	Выплата в конце года
1	$S$	$1,2S$	$0,2S плюс x$
2	$S минус x$	$1,2 левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка$	$1,2 левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка = 0,2 левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка плюс 2x$
3	$S минус 3x$	$1,2 левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка$	$1,2 левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка минус левая круглая скобка S минус 7x правая круглая скобка = 0,2 левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка плюс 4x$
4	$S минус 7x$	$1,2 левая круглая скобка S минус 7x правая круглая скобка$	$1,2 левая круглая скобка S минус 7x правая круглая скобка минус левая круглая скобка S минус 15x правая круглая скобка = 0,2 левая круглая скобка S минус 7x правая круглая скобка плюс 8x$
...	...	...	...
k	$S минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x$	$1,2 левая круглая скобка S минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x правая круглая скобка$	$1,2 левая круглая скобка S минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x правая круглая скобка минус левая круглая скобка S минус левая круглая скобка 2 в степени k минус 1 правая круглая скобка x правая круглая скобка = 0,2 левая круглая скобка S минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка x$
...	...	...	...

После последней выплаты в n-м году (то есть на момент начала года с номером $n плюс 1 правая круглая скобка$ года долг стал равен нулю: $S минус левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка x = 0,$ откуда $x = дробь: числитель: S, знаменатель: конец дроби 2 в степени n минус 1.$ Согласно последнему столбцу таблицы общая сумма В ежегодных выплат за это время достигла величины

$В = 0,2S плюс x плюс 0,2 левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка плюс 2x плюс 0,2 левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка плюс 4x плюс \ldots плюс 0,2 левая круглая скобка S минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x =$
$= 0,2S умножить на n минус 0,2x левая круглая скобка 1 плюс 3 плюс 7 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс x левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $В =$
$= 0,2S плюс x плюс 0,2 левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка плюс 2x плюс 0,2 левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка плюс 4x плюс \ldots плюс 0,2 левая круглая скобка S минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x =$
$= 0,2S умножить на n минус 0,2x левая круглая скобка 1 плюс 3 плюс 7 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс x левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Упростим полученное выражение, используя формулу суммы геометрической прогрессии:

$1 плюс 2 плюс 4 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = 2 в степени n минус 1,$

$1 плюс 3 плюс 7 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 = левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 8 минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = минус 1 плюс левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = 2 в степени n минус 1 минус n,$ $1 плюс 3 плюс 7 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 = левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 8 минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус 1 плюс левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = 2 в степени n минус 1 минус n,$ $1 плюс 3 плюс 7 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 =$
$= левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 8 минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус 1 плюс левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = 2 в степени n минус 1 минус n,$

а потому

$В = 0,2S умножить на n минус 0,2x умножить на левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 минус n правая круглая скобка плюс x умножить на левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка = 0,2S умножить на n плюс 0,2x умножить на n плюс 0,8x умножить на левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка .$ $В = 0,2S умножить на n минус 0,2x умножить на левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 минус n правая круглая скобка плюс x умножить на левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка =$
$= 0,2S умножить на n плюс 0,2x умножить на n плюс 0,8x умножить на левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка .$

Подставляя $x = дробь: числитель: S, знаменатель: конец дроби 2 в степени n минус 1,$ $S = 12 600,$ в уравнение $В = 25 440,$ находим:

$0,2 умножить на 12 600 n плюс 0,2n умножить на дробь: числитель: 12 600, знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби плюс 0,8 умножить на 12 600 = 25 440 равносильно 2520n плюс дробь: числитель: 2520n, знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби плюс 10 088 = 25 440 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2520n умножить на 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = 15 360 равносильно дробь: числитель: 21n умножить на 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = 128 равносильно дробь: числитель: 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 128, знаменатель: 21n конец дроби .$ $0,2 умножить на 12 600 n плюс 0,2n умножить на дробь: числитель: 12 600, знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби плюс 0,8 умножить на 12 600 = 25 440 равносильно$
$равносильно 2520n плюс дробь: числитель: 2520n, знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби плюс 10 088 = 25 440 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2520n умножить на 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = 15 360 равносильно дробь: числитель: 21n умножить на 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = 128 равносильно дробь: числитель: 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 128, знаменатель: 21n конец дроби .$ $0,2 умножить на 12 600 n плюс 0,2n умножить на дробь: числитель: 12 600, знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби плюс 0,8 умножить на 12 600 = 25 440 равносильно$
$равносильно 2520n плюс дробь: числитель: 2520n, знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби плюс 10 088 = 25 440 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2520n умножить на 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = 15 360 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 21n умножить на 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = 128 равносильно дробь: числитель: 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 128, знаменатель: 21n конец дроби .$

Поскольку $дробь: числитель: 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби больше 1$ при всех n, а $дробь: числитель: 128, знаменатель: 21n конец дроби меньше 1$ при $n больше или равно 7,$ уравнение $дробь: числитель: 2 в степени n , знаменатель: 2 в степени n минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 128, знаменатель: 21n конец дроби$ не имеет решений при $n больше или равно 7.$ При $n = 6$ уравнение обращается в верное числовое равенство. При $n = 1, 2, 3, 4, 5$ левая часть меньше правой, и уравнение не имеет решений. Тем самым кредит был взят на шесть лет.

Ответ: кредит был взят на шесть лет.

Примечание.

Для справки приведем таблицу выплат по годам.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 468

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь