а)  Без огра­ни­че­ния общ­но­сти пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро A₁C₁ в его се­ре­ди­не  — в точке K. До­ка­жем, что тан­генс угла между плос­ко­стя­ми α и ABC равен Пусть пря­мая KN пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ния сто­рон AA₁ и AC в точ­ках R и Q со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем пря­мые RM и QM, пусть они пе­ре­се­ка­ют ребра A₁B₁ и BC в точ­ках P и T со­от­вет­ствен­но. Пусть все ребра приз­мы равны a. Опу­стим на пря­мую MQ пер­пен­ди­ку­ляр AH. От­ре­зок AH  — про­ек­ция RH, по­это­му по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая RH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MQ. Сле­до­ва­тель­но, угол AHR  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми α и ABC с общим реб­ром HQ. Тре­уголь­ни­ки RA₁K, KC₁N и NCQ равны по ка­те­ту и остро­му углу, по­это­му

Тогда Най­дем длину от­рез­ка MQ по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

от­ку­да

По­счи­та­ем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMQ двумя спо­со­ба­ми:

Най­дем тан­генс угла AHR:

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Знаем, что Пусть V₁ и V₂  — объ­е­мы мно­го­уголь­ни­ков A₁KNTMA и KC₁NTBMP со­от­вет­ствен­но. Тогда:

Пи­ра­ми­ды по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му По тео­ре­ме Ме­не­лая то есть так как то по­то­му

Тогда

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что

Ответ: б)