РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 75944030

А. Ларин. Тренировочный вариант № 464.

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 31 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 4, a боковое ребро равно 2. Через точку пересечения диагоналей грани AA₁BB₁ и середину ребра СС₁ проходит плоскость α под углом 45° к плоскости основания призмы, пересекающая сторону ВС.

а)  Докажите, что плоскость α проходит через середину М ребра ВС.

б)  Найдите угол между плоскостями  α и AB₁M.

Решение. а)  Пусть точка O  — центр грани AA₁BB₁, точка N  — середина CC₁. Пусть плоскость α пересекает прямую AB в точке P, а ребро BC  — в точке T. Точки O, N, P, T лежат в одной плоскости. Прямая ON параллельна плоскости ABC, следовательно, прямая ON параллельна прямой PT. Прямая ON перпендикулярна плоскости AA₁BB₁, поэтому плоскость α перпендикулярна AA₁BB₁ и плоскость ABC перпендикулярна плоскости AA₁BB₁. Значит, $\angle OPA = 45 градусов.$

Пусть Q  — точка пересечения плоскости α и ребра A₁B₁. Точка K принадлежит стороне AB, прямая QK параллельна ребру AA₁. Следовательно, $KP = KQ = 2,$ откуда

$AK = PB = дробь: числитель: 4 минус 2, знаменатель: 2 конец дроби = 1.$

Пусть точка H  — середина ребра AB. Тогда отрезки CH, OH и PT параллельны между собой. Значит, $HP = PB,$ следовательно, по теореме Фалеса $TC = TB.$ Таким образом, точки T и M совпадают.

б)  Вопользуемся методом координат. Точка M  — начало координат, оси направлены так, как показано на рисунке. Найдем координаты точек:

$M левая круглая скобка 0; 0; 0 правая круглая скобка ,$

$N левая круглая скобка 2; 0; 1 правая круглая скобка ,$

$A левая круглая скобка 0; 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 0 правая круглая скобка ,$

$B_1 левая круглая скобка минус 2; 0; 2 правая круглая скобка ,$

$O левая круглая скобка минус 1; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 1 правая круглая скобка .$

Запишем уравнение плоскости AB₁M: $ax = by плюс cz плюс d = 0,$ где

$система выражений d = 0, 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента b = 0, минус 2 a плюс 2 c = 0, конец системы .$

откуда $x плюс z= 0.$ Запишем уравнение плоскости α: $ax плюс by плюс cz плюс d = 0,$ где

$система выражений d = 0, 2a плюс c = 0, минус a плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента b плюс c =0, конец системы .$

откуда $x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента y минус 2 z = 0.$ Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между перпендикулярными к ним векторами: $\vecn_1 левая круглая скобка 1; 0; 1 правая круглая скобка$ и $\vecn_2 левая круглая скобка 1; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; минус 2 правая круглая скобка .$ Следовательно,

$косинус левая круглая скобка \vecn_1, \vecn_2 правая круглая скобка = дробь: числитель: |\vecn_1 умножить на \vecn_2|, знаменатель: | \vecn_1| умножить на | \vecn_2| конец дроби = дробь: числитель: |1 минус 2|, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: б) $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Примечание.

В авторской формулировке этого задания не было сказано, что плоскость α пересекает сторону основания ВС. Дмитрий Сузан обратил наше внимание на то, что без этого условия утверждение неверно: в действительности имеется две плоскости, проходящие через прямую ON и составляющие с плоскостью основания угол 45°. Одна из них рассмотрена выше, другая не пересекает стороны основания.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 800 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

  —  каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года ( r  — целое число);

  —  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

  —  в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

  —  в июле 2030 года долг должен составлять 500 тыс. руб.;

  —  в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

  —  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1780 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит платёж в 2034 году.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC со сторонами $AB = BC =8$ и $AC = 6$ отмечены точки E и D соответственно так, что $AE = 2,$ $CD = 1.$ Отрезки AD и CE пересекаются в точке O.

а)  Докажите, что отношение площадей треугольников AOE и COD равно 14 : 3.

б)  Найдите площадь четырехугольника BDOE.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Определите все значения параметра a, при которых уравнение

$4 x в квадрате минус 8 |x| плюс левая круглая скобка 2 a плюс |x| плюс x правая круглая скобка в квадрате = 4$

имеет ровно два различных корня.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

В продуктовом магазине есть весы с двумя чашами. На одну чашу весов кладут только продукты, на другую  — гири. На чашу для гирь можно положить несколько гирь. Магазину разрешено продавать только целое число килограммов продуктов.

а)  Можно ли некоторым набором из пяти гирь отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25?

б)  Можно ли некоторым набором из четырех гирь отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25?

в)  Найдите наибольшее значение n такое, что любой вес от 1 до n килограммов можно отвесить каким-нибудь набором из 5 гирь.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658806	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3.$
2	658807	б) $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$
3	658808	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка .$
4	658809	140 000.
5	658810	б) $дробь: числитель: 189 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента , знаменатель: 88 конец дроби .$
6	658811	$левая круглая скобка минус 3; минус корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; корень из 2 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин. Тренировочный вариант № 464.

Ключ