Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 509518
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство x в квад­ра­те плюс 2|x минус a| минус 4x\leqslant минус a имеет един­ствен­ное це­ло­чис­лен­ное ре­ше­ние. Для най­ден­ных зна­че­ний a вы­пи­ши­те это ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Раз­бе­рем два слу­чая.

1)  x боль­ше или равно a. Тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид x в квад­ра­те минус 2x мень­ше или равно a, то есть левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно a плюс 1.

Если a мень­ше минус 1, то ре­ше­ний нет.

Если a= минус 1, то един­ствен­ное ре­ше­ние x=1, и оно под­хо­дит в усло­вие x боль­ше или равно a.

Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , то един­ствен­ное целое ре­ше­ние x=1, и оно под­хо­дит.

Если a=0, то есть три под­хо­дя­щих целых ре­ше­ния x=0;1;2.

Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то есть два под­хо­дя­щих целых ре­ше­ния x=1;2. Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то есть одно под­хо­дя­щее целое ре­ше­ние x=2.

Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка , то под­хо­дя­щих целых ре­ше­ний нет.

Если a=3, то един­ствен­ное под­хо­дя­щее ре­ше­ние x=3.

Если же a боль­ше 3, то левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 боль­ше a плюс 1 и ре­ше­ний нет.

2)  x мень­ше a. Тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид x в квад­ра­те минус 6x мень­ше или равно минус 3a, то есть левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно минус 3a плюс 9.

Если a боль­ше 3, то ре­ше­ний нет.

Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то един­ствен­ное целое ре­ше­ние x=3, и оно не под­хо­дит в усло­вие x мень­ше a.

Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2; дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то 1 мень­ше или равно минус 3a плюс 9 мень­ше 4, по­это­му есть целые ре­ше­ния x=2;3;4, из ко­то­рых под­хо­дит толь­ко x=2.

Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то под­хо­дя­щих ре­ше­ний нет.

Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то 4 мень­ше или равно минус 3a плюс 9 мень­ше 9, по­это­му есть целые ре­ше­ния x=1;2;3;4;5, из ко­то­рых под­хо­дит толь­ко x=1 при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Если a=0, то есть целые ре­ше­ния x=0;1;2;3;4;5;6, но они все не под­хо­дят.

На­ко­нец, при a мень­ше 0 имеем x в квад­ра­те минус 6x боль­ше минус 6a боль­ше минус 3a при x мень­ше a, по­это­му ре­ше­ний нет.

Оста­лось отобрать те зна­че­ния a, при ко­то­рых в сумме в двух слу­ча­ях ровно одно ре­ше­ние. Это будут a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Ответ: при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка x=1, при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка x=2, при a=3x=3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 100
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025