PDF-версии: 
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни уравнения на отрезке 
Решение. а) Последовательно получаем:
Уравнение 
решений не имеет.
Мы в самом же начале решения переходили к уравнению-следствию, возводя обе части исходного уравнения в квадрат. А это значит, что мы могли получить посторонние решения, обращающие правую часть заданного уравнения в отрицательное число. Чтобы этого не случилось, потребуем, чтобы выполнялось условие 
Нетрудно понять, что все полученные нами значения х будут принадлежать первой и третьей координатным четвертям. В первой четверти условие 
выполняется.
Но в третьей четверти и синус, и косинус отрицательны. Следовательно, условие там невыполнимо. Отсюда вывод: искомыми корнями будут лишь числа вида 
и 
б) Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
так, чтобы 
тогда 
поэтому K лежит в сечении.
на BC так, чтобы 
тогда 
поэтому 
Прямая 
пересекает ее в точке 
делящей DB в отношении 
а прямая MK — в точкe 
проекция которой — середина O отрезка DB и при этом 
Пусть прямая 
пересекает отрезок 
в точке P, тогда треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
и поэтому 
Отметим точку P на нужной высоте и построим сечение 
до пересечения в точке 
Тогда треугольники MKQ и 
подобны с коэффициентом 
Кроме того, треугольники MKQ и MKP равны по стороне MK и прилежащим к ней углам 
как пересечения плоскости сечения с параллельными гранями). Значит, 
и DX = 6.
Тогда 
(накрест лежащий с 
), 
(накрест лежащий с 
(поскольку точки лежат на окружности), и поэтому 
Тогда 
(из подобия треугольников ABX и BXC).
(из подобия треугольников BXC и XCD).
баррелей. Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до 
у. е.,
у. е. Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла закупить 
баррелей сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному объему закупок составит:
% то есть 
% = 
%.
(он действительно подходит в исходное уравнение). Поделим на x:
обозначим 
и потребуем, чтобы уравнение 
имело ровно три корня.
Это четная функция. Ее производная при 
будет 
при 
Значит, функция убывает на 
а по непрерывности можно даже написать, что она убывает на 
Очевидно, при больших t имеем 
при 
ровно по одному разу.
получаем как раз уравнение 
которое имеет единственный корень 
при 
имеет два корня (отличающихся знаком) при 
и не имеет корней при прочих b. Отсюда при
или 
корней у уравнения нет вовсе.
Тогда нужно чтобы 
то есть 
У этого уравнения единственный корень.
Нас интересует число корней уравнения 
Выясним для этого, как устроена функция 
Возьмем ее производную 
Значит, 
при 
и 
при 
Поэтому функция ведет себя так — принимает все вещественные значения по одному разу на промежутке 
принимает дважды все положительные значения большие 
на промежутке 
принимает один раз значение 
и не принимает других значений на этом промежутке.
Тогда уравнение 
имеет ровно один корень, значит, уравнение 
должно иметь ровно два корня. Один из них точно будет на промежутке 
и 
В этом случае корней получается ровно три, а в других случаях не получается.
и 
Тогда 
Предыдущий квадрат будет равен 
Значит, натурального числа, квадрат которого имеет 12 знаков и начинается с цифр 562499, не существует.
- 12-значное число, начинающееся с единицы, то есть 
Тогда 
Отсюда 
и 
Значит, разница между соседними квадратами меньше миллиона и в последовательности квадратов, лежащих между 
и 
встретятся числа, начинающиеся с любого набора из шести цифр.
Ясно, что к любым n цифрам можно подписать еще 
цифру так, чтобы полученное число было полным квадратом: ведь на промежутке 
разница между соседними квадратами не превосходит 
цифрами обойтись не удастся. Рассмотрим квадрат, предшествующий 
он равен 
(
девятка и 
... цифры: соответствующее число слишком близко к 
...Рассмотрим еще квадрат, предшествующий 
он равен 
(
девятки и 
...) цифр, чтобы получился точный квадрат. В итоге получается, что
