Ре­ше­ние. а)  Огра­ни­че­ния на

Для таких

б)  Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­че­ния: SABCD  — за­дан­ная пи­ра­ми­да, SH  — вы­со­та, SL  — апо­фе­ма, O  — центр впи­сан­но­го и опи­сан­но­го шаров, OD, OS  — ра­ди­у­сы опи­сан­но­го шара, OM, OH ра­ди­у­сы впи­сан­но­го шара.   — ис­ко­мый.

Пусть AD = CD = a. Тогда

ML = HL как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из точки L к впи­сан­ной сфере.

От­сю­да: В пря­мо­уголь­ном

сле­до­ва­тель­но,

так как они пря­мо­уголь­ные, у них OM  — общий катет, OS = OD как ра­ди­у­сы опи­сан­но­го шара. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x.

Для таких x:

Пусть тогда

Решим вспо­мо­га­тель­ные урав­не­ния. Пер­вое:

Ко­рень сле­до­ва­тель­но, по­сто­рон­ний. Вто­рое:

Ко­рень т. е. по­сто­рон­ний. Далее про­дол­жим ре­ше­ние не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но t ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ин­тер­ва­лы
Знак вы­ра­же­ния	+	−	+

Итак,

До­ка­жем, что

До­ка­за­но. С уче­том огра­ни­че­ний на x по­лу­чим ис­ко­мое ре­ше­ние

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда

По­тре­бу­ем вы­пол­не­ния усло­вия

При т. е. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Итак, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АСВ AC = BC = 12,

Пусть О  — се­ре­ди­на АВ. Тогда И пусть MNPQ  — упо­мя­ну­тый квад­рат Про­ве­дем от­ре­зок СО, ко­то­рый пе­ре­се­чет NP в точке K. И пусть b  — длина сто­ро­ны квад­ра­та.

При сим­мет­рии от­но­си­тель­но пря­мой СО рав­но­бед­рен­ный пе­рей­дет сам на себя. При­чем от­рез­ки PK и NK пе­рей­дут друг на друга. От­сю­да:

По­сколь­ку NP || AB, А это зна­чит, что

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Под­ход ал­геб­ра­и­че­ский.

Пусть вся чис­лен­ность из­би­ра­те­лей со­став­ля­ет х че­ло­век. Тогда за кан­ди­да­та А ре­ши­ли го­ло­со­вать из­би­ра­те­лей.

Для того чтобы было обес­пе­че­но усло­вие: за кан­ди­да­та А не­об­хо­ди­мо чтоб про­го­ло­со­ва­ла по край­ней мере по­ло­ви­на из­би­ра­те­лей не хва­та­ет 0,17х из­би­ра­те­лей.

За кого го­ло­со­вать, не опре­де­ли­лось 0,4х че­ло­век, что со­став­ля­ет

Ариф­ме­ти­ка.

Чис­лен­ность из­би­ра­те­лей при­мем за 1. Из них 0,4 части из­би­ра­те­лей пока что не при­ня­ли ре­ше­ния, за кого они будут го­ло­со­вать.

А из тех, кто уже при­нял ре­ше­ние, за кан­ди­да­та А будет го­ло­со­вать части всех из­би­ра­те­лей. До по­став­лен­ной цели не хва­та­ет 0,17 части от общей чис­лен­но­сти из­би­ра­те­лей. А этот по­ка­за­тель со­став­ля­ет 42,5% от общей чис­лен­но­сти из­би­ра­те­лей, пока не при­няв­ших ре­ше­ния, за кого они пой­дут го­ло­со­вать в день вы­бо­ров (0,17 : 0,4 · 100%  =  42,5%).

Далее идет за­да­ча из проб­ни­ка Са­ма­ры. Про­ве­де­но ... не знаю когда, но не­дав­но...

Ответ: 42,5.

Ре­ше­ние. Если то

В осталь­ных слу­ча­ях это квад­рат­ное не­ра­вен­ство.

Если то го­дят­ся все x, кроме ле­жа­щих на про­ме­жут­ке между его кор­ня­ми (если такие есть). Они есть, все­гда можно раз­ло­жить на мно­жи­те­ли  —

При ответ

При ответ

Если то го­дят­ся все x, ле­жа­щие между его кор­ня­ми. Оче­вид­но, по­это­му ответ

При ответ

При ответ

При ответ

При ответ

Ре­ше­ние. а)  Пусть - длины сто­рон тре­уголь­ни­ка, упо­ря­до­чен­ные по воз­рас­та­нию. Из усло­вия сле­ду­ет, что Пусть Тогда из двух по­след­них ра­венств сле­ду­ет, что что про­ти­во­ре­чит не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка. По­это­му ответ: нет.

б)  До­пу­стим, что такой тре­уголь­ник су­ще­ству­ет и после умень­ше­ния сто­рон снова по­лу­чит­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Уве­ли­чив сто­ро­ны но­во­го тре­уголь­ни­ка на 1, мы по­лу­чим пер­во­на­чаль­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, но это про­ти­во­ре­чит ре­ше­нию пунк­та а). Зна­чит, такой тре­уголь­ник не су­ще­ству­ет.

в)  Может. Пусть сто­ро­ны на­чаль­но­го тре­уголь­ни­ка равны - оче­вид­но, он пря­мо­уголь­ный. Пусть после из­ме­не­ния сто­рон они ста­нут равны при­чем боль­ший катет ста­нет ги­по­те­ну­зой, а ги­по­те­ну­за ста­нет ка­те­том. Тогда по­лу­ча­ем, что

Решая это урав­не­ние, най­дем (вто­рой ко­рень урав­не­ния не го­дит­ся из-за усло­вия ). Таким об­ра­зом, нуж­ный тре­уголь­ник най­ден.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.