Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 508675
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем огра­ни­че­ния на x.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 боль­ше 0 , новая стро­ка x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка x боль­ше 4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , конец си­сте­мы . , новая стро­ка x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Для таких x:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 боль­ше или равно 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 4 минус левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 8x плюс 6 плюс 2x минус 1 плюс 4 боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 4 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 5 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Пусть ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та =t боль­ше или равно 0, тогда 2x минус 1=t в квад­ра­те рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 5 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 1 минус 10 минус 2t пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 1 минус 2 плюс 2t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 2t минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Решим вспо­мо­га­тель­ные урав­не­ния. Пер­вое:

t в квад­ра­те минус 2t минус 9=0 рав­но­силь­но t=1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 9 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t=1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка t=1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Ко­рень 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше 0, сле­до­ва­тель­но, по­сто­рон­ний. Вто­рое:

t в квад­ра­те плюс 2t минус 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t=1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка t=1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Ко­рень 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 0, т. е. по­сто­рон­ний. Далее про­дол­жим ре­ше­ние не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но t ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

 

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак вы­ра­же­ния+−+

 

Итак, 0 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 2x минус 1 мень­ше или равно 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 2 рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно 2x мень­ше или равно 4 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2x минус 1 боль­ше или равно 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та плюс 10 рав­но­силь­но 2x боль­ше или равно 12 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x боль­ше или равно 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

До­ка­жем, что дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

1 мень­ше 4 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 8 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но минус 3 мень­ше минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 4 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та минус 4 мень­ше 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 3 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 3 , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та минус 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 8 мень­ше 9 , новая стро­ка 2 боль­ше 10 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та плюс 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 8 мень­ше 9 , новая стро­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та боль­ше 12 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 8 мень­ше 9 , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та боль­ше 3 . конец си­сте­мы .

До­ка­за­но. С уче­том огра­ни­че­ний на x по­лу­чим ис­ко­мое ре­ше­ние левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 508675: 513786 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025