Дан прямоугольный треугольник ABC.
А) Каждую сторону треугольника ABC увеличили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?
Б) Каждую сторону треугольника ABC уменьшили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?
В) Каждую сторону треугольника ABC изменили на 1 (увеличили или уменьшили, по своему усмотрению). Может ли полученный при этом треугольник оказаться прямоугольным?
а) Пусть 
- длины сторон треугольника, упорядоченные по возрастанию. Из условия следует, что 
Пусть 
Тогда из двух последних равенств следует, что 
что противоречит неравенству треугольника. Поэтому ответ: нет.
б) Допустим, что такой треугольник существует и после уменьшения сторон снова получится прямоугольный треугольник. Увеличив стороны нового треугольника на 1, мы получим первоначальный прямоугольный треугольник, но это противоречит решению пункта а). Значит, такой треугольник не существует.
в) Может. Пусть стороны начального треугольника равны 
- очевидно, он прямоугольный. Пусть после изменения сторон они станут равны 
причем больший катет станет гипотенузой, а гипотенуза станет катетом. Тогда получаем, что 
Решая это уравнение, найдем 
(второй корень уравнения не годится из-за условия 
). Таким образом, нужный треугольник найден.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.