PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Найдем ограничения на 
Для таких 
б) Отбор корней сделаем путем перебора подходящих значений 
Из серии корней 
Заметим, что отрицательные значения n здесь не подойдут. Значение 
тоже не подходит, так как
При 
Докажем, что 
Для этого достаточно доказать: 
Действительно, 
При n = 2:
При n = 3:
Этот корень уже не подходит. Дальнейшие поиски корней из этой серии смысла не имеют.
Из серии корней 
При отрицательных значениях 
несложно понять, искомых корней не будет.
При n = 1:
Корень не подходит.
При n = 2:
При n = 3: 
Но 
Корень не подходит, дальнейшие поиски просто излишни.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
(точку K) и мысленно соединим ее с серединой BD (точкой O). Этот отрезок будет средней линией треугольника 
поэтому он параллелен 
и, значит, лежит в сечении. Тогда сечение — треугольник BKD.
поэтому 
Осталось найти 
Пусть 
Тогда 
Поскольку 
Поскольку 
треугольник остроугольный и косинус угла положительный. Напишем теорему косинусов для треугольника 
:
точки 
и 
лежат на окружности с диаметром AC. Тогда по следствию теоремы о вписанном угле 
и 
поэтому указанные треугольники подобны по двум углам.
следует, что 
аналогично 
поэтому треугольники BAC и BA1C1 подобны с коэффициентом подобия 
поэтому их площади относятся как 
Значит, 
мин позже, чем велосипедист. 
имеет решение, причём любой его корень находится в промежутке [1;2].
и рассмотрим функцию 
При каждом допустимом значении параметра функция f непрерывна на всей области определения, причём для любых 
функция f является убывающей, а для любых 
— возрастающей. Поэтому для каждого допустимого значения параметра уравнение имеет не более одного решения. Из непрерывности функции следует, что корень уравнения находится в промежутке [1; 2] тогда и только тогда, когда 
Применяя теорему о знаках, имеем: 
или 
