Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)   Вы­бор­ку кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем пря­мую BK в плос­ко­сти ABCD и от­ме­тим точку T ее пе­ре­се­че­ния с AD. Про­ве­дем пря­мую LK в плос­ко­сти SCD и от­ме­тим точку Y ее пе­ре­се­че­ния с SD. Тогда BLYT  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Уста­но­вим сна­ча­ла ме­сто­по­ло­же­ние точек T и Y. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KTD и KBC сле­ду­ет, что от­ку­да

На­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка CSD и пря­мой LYK. По­лу­чим

Те­перь вы­чис­лим объем одной из ча­стей.

По­это­му

Ответ: 95 : 169.

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на

До­ка­жем, что при любом зна­че­нии

Если то

При функ­ция   — воз­рас­та­ю­щая как про­из­ве­де­ние двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций, при­ни­ма­ю­щих толь­ко не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния. На этом про­ме­жут­ке не­пре­рыв­ная функ­ция при­мет наи­мень­шее зна­че­ние в точке 0, наи­боль­шее зна­че­ние  — в точке По­ка­жем, что упо­мя­ну­тое наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции будет мень­ше 4. Дей­стви­тель­но,

(оче­вид­ное не­ра­вен­ство).

Таким об­ра­зом,

За­ме­ча­ние: в целях устра­не­ния гро­мозд­ких за­пи­сей ре­ше­ние не­ра­вен­ства можно вести и так:

Решим две си­сте­мы:

1)  ##

2)  ##

Объ­еди­нив два по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та, будем иметь:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что по­сколь­ку они оба равны   — один как на­крест ле­жа­щий, вто­рой  — как угол при бис­сек­три­се.

По­это­му тре­уголь­ник ABE рав­но­бед­рен­ный. Далее как ка­са­тель­ные к впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABE. Тогда тре­уголь­ни­ки BMH и BAE по­доб­ны ( общий, ) и от­ку­да

б)  Пусть тогда ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков BMH и BAE равен Тогда

Од­на­ко из той же тео­ре­мы о ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, имеем то есть от­ку­да

Зна­чит, тре­уголь­ник BMH рав­но­сто­рон­ний, тогда

Ответ: 120°.

Ре­ше­ние. Пусть в банк А, у ко­то­ро­го ис­хо­дя из го­до­вой про­цент­ной став­ки ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния вкла­да равен y, вло­же­но у. е. денег. Тогда в банк Б, у ко­то­ро­го ана­ло­гич­ный ко­эф­фи­ци­ент равен t, вло­же­но x у. е. денег.

В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи будем иметь:

Если бы те же суммы были вло­же­ны в банки Б и А со­от­вет­ствен­но, то имели бы урав­не­ние (3)

А ис­ко­мая сумма будет равна зна­че­нию вы­ра­же­ния

Рас­смот­рим си­сте­му урав­не­ний (1) и (3):

От­сю­да:

Под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние y в урав­не­ние (2):

Ис­ко­мая сумма имеет вид:

Ответ: 841.

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем за­дан­ное урав­не­ние так:

Далее:

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть тогда Ис­хо­дя из кон­тек­ста за­да­чи по­тре­бу­ем, чтобы это урав­не­ние от­но­си­тель­но t имело два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня. Это усло­вие вы­пол­ня­ет­ся, если дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на будет по­ло­жи­тель­ным: Оче­вид­но, по­след­нее не­ра­вен­ство ис­тин­но при всех зна­че­ни­ях h,от­лич­ных от нуля.

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ные урав­не­ния.

По­тре­бу­ем, чтобы урав­не­ние (1) имело два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня. Для этого не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы было вы­пол­не­но усло­вие т. е.

Ана­ло­гич­но будет и с урав­не­ни­ем (2).

Для того чтобы за­дан­ное урав­не­ние имело 4 дей­стви­тель­ных корня, пе­ре­се­чем ре­зуль­та­ты (*) и (**). По­лу­чим ис­ко­мые зна­че­ния h:

Более ком­пакт­но этот ре­зуль­тат можно за­пи­сать так:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Най­дем сумму про­грес­сии вида

б)  Пусть пер­вый член ис­ко­мой про­грес­сии равен а ее зна­ме­на­тель равен где - на­ту­раль­ные числа. Тогда долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство: От­сю­да Если то слева чет­ное число, а спра­ва не­чет­ное, если то если то слева не­це­лое число, а спра­ва целое. Все эти слу­чаи не­воз­мож­ны.

Ответ: а) да; б) нет.