Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис). Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка O  — центр опи­сан­ной сферы. Тогда точка O  — се­ре­ди­на AB и, сле­до­ва­тель­но, OA  =  OB  =  OC  =  OF, то есть в тре­уголь­ни­ках ABC и ABF ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой про­ве­де­на. Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки пря­мо­уголь­ные с вер­ши­на­ми при пря­мом угле C и F со­от­вет­ствен­но.

б)  Пло­щадь по­верх­но­сти опи­сан­ной сферы равна 16π, по­это­му ее ра­ди­ус

и AB  =  4. Пусть точки H и K  — про­ек­ции точек F и T на плос­кость ABC со­от­вет­ствен­но. Плос­ко­сти ABF и ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му обе эти точки лежат на линии их пе­ре­се­че­ния  — AB. За­ме­тим, что точка  K, как и точка  T, рав­но­уда­ле­на от точек B и M, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник BKM рав­но­бед­рен­ный, пусть от­ре­зок KL  — его вы­со­та. Тогда пря­мые KL и AC па­рал­лель­ны. Пусть те­перь точка G  — про­ек­ция точки C на плос­кость ABF. Плос­ко­сти ABC и ABF пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му точка G лежит на линии их пе­ре­се­че­ния AB. Это озна­ча­ет, что пря­мая AB яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой BC на плос­кость ABF и угол CBA равен углу между пря­мой BC и плос­ко­стью ABF. Таким об­ра­зом, то есть AC  =  2BC. На­хо­дим:

зна­чит,

Тре­уголь­ни­ки BKL и ABC по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки ABC, BFH ABH и ATK по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды АСМT равен

Ответ: б) 8.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Решим пер­вое не­ра­вен­ство по­лу­чен­ной си­сте­мы. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

С учётом усло­вия по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть S  =  500 тыс. руб., еже­год­ные пла­те­жи в пер­вые три года со­став­ля­ли по x тыс. руб. и За­пол­ним таб­ли­цу.

Год	Долг с про­цен­та­ми, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг после вы­пла­ты, тыс. руб.
1	kS	x
2		x
3		x
4		163,2

Под­став­ляя зна­че­ние k в по­лу­чен­ное урав­не­ние, на­хо­дим:

Зна­чит, всего за 4 года пред­при­ни­ма­тель внёс в банк (тыс. руб.)

Ответ: 763,2 тыс. руб.

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка O  — центр опи­сан­ной около ABC окруж­но­сти, тогда по­это­му и, зна­чит, По не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка

от­ку­да Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что если верно ра­вен­ство то центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит на ме­ди­а­не AM. Тогда тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный: Углы CBH и CAM равны, по­это­му равны углы MBH и MAB. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки MBH и MAB по­доб­ны. По­лу­ча­ем, что

от­ку­да Пусть точка O  — центр опи­сан­ной около ABC окруж­но­сти. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра то есть Решая это урав­не­ние, по­лу­ча­ем ответ: R  =  7.

Ответ: б)  7.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Из пунк­та а) сле­ду­ет, что если верно ра­вен­ство то центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит на ме­ди­а­не AM. Тогда тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный: Сле­до­ва­тель­но, центр опи­сан­ной окруж­но­сти О и ор­то­центр Н лежат на его ме­ди­а­не и вы­со­те AM. Тогда

Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до его ор­то­цен­тра в два раза боль­ше рас­сто­я­ния от цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти до про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­ны, по­это­му от­ку­да

Ответ: б)  7.

За­ме­ча­ние. На нашем ри­сун­ке ко вто­ро­му ре­ше­нию точка точка O лежит над точ­кой H. На дру­гом ри­сун­ке эти точки могли бы по­ме­нять­ся ме­ста­ми или сов­пасть. Чтобы вы­яс­нить, как на самом деле рас­по­ло­же­ны точки, за­ме­тим, что а Сле­до­ва­тель­но, точка O дей­стви­тель­но ближе к точке M, чем точка H.

Ре­ше­ние. При по­лу­ча­ем, что Гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, и осью сим­мет­рии При на­хо­дим а гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке  — часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

Воз­мож­ные виды гра­фи­ка функ­ции по­ка­за­ны на ри­сун­ках.

Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­нять толь­ко в точ­ках или По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции мень­ше 1 тогда и толь­ко тогда, когда

Если то вто­рое не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид от­ку­да или Эти про­ме­жут­ки не со­дер­жат по­лу­ин­тер­вал Если то от­ку­да или Зна­чит, Таким об­ра­зом, или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер

б)  Нет. Два из этих 29 чле­нов были бы со­сед­ни­ми, тогда раз­ность про­грес­си была бы целой, а тогда и все осталь­ные члены про­грес­сии были бы це­лы­ми.

в)  За­ме­тим что про­грес­сия со­дер­жит ровно целых чисел. Это поз­во­ля­ет сразу при­ве­сти при­ме­ры:

Для 1 числа можно взять

Для двух можно взять

Про­дол­жая, под­бе­рем для всех чисел до 10.

До­пу­стим можно сде­лать про­грес­сию ровно с 11 це­лы­ми чле­на­ми. Разо­бьем ее на 10 бло­ков по 5 чисел. Два целых по­па­дут в один блок, по­это­му раз­ни­ца между ними не пре­вос­хо­дит где d  — раз­ность про­грес­сии. Но тогда в каж­дых че­ты­рех под­ряд чле­нах про­грес­сии по­па­да­ет­ся целое число, а 50 чисел можно раз­бить на 12 чет­ве­рок и еще два числа.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 11.