Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 648015
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 a конец дроби

имеет ровно два раз­лич­ных корня, боль­ших чем 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что при a мень­ше или равно 0 урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при a боль­ше 0:

левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 a конец дроби рав­но­силь­но минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 a конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка 4 a.

Пусть ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка 4 a=b. Тогда

левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =b рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби = \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби = \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби = 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та .

При b мень­ше 0 урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, при b=0 или b=1 урав­не­ние имеет один ко­рень, при 0 мень­ше b мень­ше 1 или b боль­ше 1 урав­не­ние имеет два корня: x_1=2 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби , x_2=2 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби . Чтобы урав­не­ние имело ровно два раз­лич­ных корня, боль­ших чем 3, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы при b боль­ше 0 вы­пол­ня­лась си­сте­ма не­ра­венств:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 3, 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 1, дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 0, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 \underset b боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но 0 мень­ше b мень­ше 1.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

0 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка 4 a мень­ше 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка 4 a боль­ше 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 плюс a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 16 a в квад­ра­те мень­ше 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4a боль­ше 1, 16a в квад­ра­те мень­ше 1 плюс a в квад­ра­те конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , a в квад­ра­те мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 15 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 442
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной
Источник/автор: Артур Анищенко
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025