Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что для лю­бо­го так как Из усло­вия, что Также сле­ду­ет, что Зна­чит,

Учи­ты­вая, что по­лу­чим, что урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ют корни:

б)  

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Пусть ра­ди­ус шара равен R. Тогда ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии вто­рой плос­ко­стью, равен Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­дей равно

от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на Для таких

Это не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние про­ме­жут­ков:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

Огра­ни­че­ния на

Для таких

Те­перь мы решим по­след­нюю си­сте­му не­ра­венств на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

За­ме­ча­ние.

Не­слож­но по­нять, что по­сколь­ку

Ре­ше­ние. Пусть в тра­пе­ции ABCD имеем Про­ве­дем через C пря­мую, па­рал­лель­ную BD. Она пе­ре­се­чет про­дол­же­ние AD в точке Тогда   — па­рал­ле­ло­грамм, и пло­щадь равна

Будем те­перь ис­кать пло­щадь тре­уголь­ни­ка Опу­стим его вы­со­ту Тогда от­ку­да и

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, если a удо­вле­тво­ря­ет этому усло­вию, то и ему тоже удо­вле­тво­ря­ет. Будем в даль­ней­шем счи­тать, что

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние

Воз­мож­ны два слу­чая:

1)  У двух ско­бок есть общий ко­рень. Тогда При кор­ней нет во­об­ще, при имеем и урав­не­ние по­лу­ча­ет­ся у него дей­стви­тель­но три корня.

2)  У одной из ско­бок два раз­лич­ных корня, а у дру­гой толь­ко один.

Дис­кри­ми­нан­ты ско­бок равны и Один из них дол­жен быть по­ло­жи­те­лен, а дру­гой нулем. Пер­вый боль­ше, зна­чит, он по­ло­жи­те­лен.

Итак, нам под­хо­дит по­ло­жи­тель­ный ко­рень вто­ро­го  —

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Масса любых трех таких глыб не пре­вос­хо­дит 5 тонн. Зна­чит, в 60 гру­зо­ви­ках можно увез­ти 180 таких глыб. Зна­чит, увез­ти 170 глыб тем более по­лу­чит­ся.

б)  Сум­мар­ная масса таких глыб равна кг. Гру­зо­подъ­ем­ность 38 гру­зо­ви­ков ровно такая же. Зна­чит, если можно увез­ти эти глыбы, то каж­дый гру­зо­вик дол­жен быть за­гру­жен «под за­вяз­ку». Если в каком-ни­будь гру­зо­ви­ке есть глыба весом 800 кг, то един­ствен­ная воз­мож­ность пол­но­стью его за­пол­нить – это до­ба­вить туда еще че­ты­ре таких глыбы и глыбу мас­сой 1000 кг. Таким об­ра­зом, гру­зо­ви­ков, за­гру­жен­ных так, по­на­до­бит­ся 10 штук. По­сколь­ку оста­лось 60 глыб, мас­сой 1500 кг каж­дая и 28 гру­зо­ви­ков, то в каком-то гру­зо­ви­ке ми­ни­мум три таких глыбы. Но такой гру­зо­вик уже не будет набит «под за­вяз­ку». Про­ти­во­ре­чие.

в)  38 гру­зо­ви­ков не хва­тит, как по­ка­за­но в пунк­те б). По­ка­жем, что 39 гру­зо­ви­ков хва­тит:

В 10 гру­зо­ви­ков за­гру­жа­ем по пять 800-ки­ло­грам­мо­вых глыб и одной 1000-ки­ло­грам­мо­вой.

В 25 гру­зо­ви­ков за­гру­жа­ем по две 1500-ки­ло­грам­мо­вых глыб и по две 1000-ки­ло­грам­мо­вых. В 3 гру­зо­ви­ка гру­зим по три 1500 ки­ло­грам­мо­вых глыбы. В остав­ший­ся гру­зо­вик гру­зим по­след­нюю 1500-ки­ло­грам­мо­вую глыбу.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 39.

----------------------------------------------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 503257