Ре­ше­ние. а)  Решим уран­ве­ние:

б)  

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Ре­ше­ние:

Пусть центр впи­сан­но­го шара  — точка   — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, F  — се­ре­ди­на от­рез­ка   — точка пе­ре­се­че­ния MK и

Плос­кость MSF разо­бьет за­дан­ную пи­ра­ми­ду на две сим­мет­рич­ные пи­ра­ми­ды. Оче­вид­но, что центр впи­сан­но­го шара лежит в этой плос­ко­сти и на вы­со­те SE за­дан­ной пи­ра­ми­ды. Ра­ди­ус шара R будет равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник

Зна­чит,

Ис­ко­мое се­че­ние есть круг. Ра­ди­ус его обо­зна­чим Оче­вид­но, что Най­дем В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SHO

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке LSE

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства  — мно­же­ство

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Его до­ста­точ­но рас­смот­реть толь­ко на мно­же­стве

Най­дем огра­ни­че­ния на x на ука­зан­ном мно­же­стве:

Для по­лу­че­ния окон­ча­тель­но­го ре­зуль­та­та по огра­ни­че­ни­ям на до­ка­жем, что

Итак, огра­ни­че­ния на Для таких

С уче­том огра­ни­че­ний на x по­лу­чим ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту BH. Тогда Пусть тогда так как Зна­чит,

Рас­смот­рим воз­мож­ные по­ло­же­ния точки D.

1)  D лежит на про­дол­же­нии BC за точку C. Тогда

по­это­му такой слу­чай не­воз­мо­жен.

2)  D лежит на от­рез­ке BC. Тогда по­это­му такой слу­чай не­воз­мо­жен.

3)  D лежит на про­дол­же­нии BC за точку B. Тогда

Так что такой слу­чай воз­мо­жен.

На­пи­шем тогда тео­ре­му си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BAD.

Из тре­уголь­ни­ка BAH имеем Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, если x удо­вле­тво­ря­ет этому не­ра­вен­ству, то и ему тоже удо­вле­тво­ря­ет. По­это­му един­ствен­ное ре­ше­ние воз­мож­но толь­ко если Кроме того, при долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство, иначе по не­пре­рыв­но­сти всех функ­ций в урав­не­нии рядом с будут и еще ре­ше­ния.

По­лу­ча­ем

Убе­дим­ся в един­ствен­но­сти ре­ше­ния при

по­ло­жи­тель­но и на него можно до­мно­жать.

Здесь левая часть не мень­ше трех, пра­вая не боль­ше трех. Ра­вен­ство од­но­вре­мен­но воз­мож­но лишь при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­счи­та­ем сум­мар­ное рас­сто­я­ние от всех сорок до самой левой елки. Оче­вид­но, оно равно 10 + 20 + 30 + 40 + 50  =  150 м и не ме­ня­ет­ся после каж­до­го пе­ре­ме­ще­ния сорок.

Если все со­ро­ки ока­жут­ся на одной елке, то рас­сто­я­ние от этой елки до самой левой равно 150:6  =  25 м, но ясно, что на этом рас­сто­я­нии ни­ка­кой елки не рас­тет.

б)  За­ну­ме­ру­ем елки по­сле­до­ва­тель­но. Тогда пусть со­ро­ки с 1-⁠й и 7-⁠й елок летят на 4-⁠ю. Ана­ло­гич­но, со­ро­ки со 2-⁠й и 6-⁠й елок летят на 4-⁠ю. Ана­ло­гич­но, со­ро­ки с 3-⁠й и 5-⁠й елок летят на 4-⁠ю. Таким об­ра­зом, все со­ро­ки со­бра­лись на чет­вер­той елке.

в)  За­ну­ме­ру­ем елки по кругу (от 1 до 6). По­ста­вим в со­от­вет­ствие каж­дой со­ро­ке номер елки, на ко­то­рой она сидит. Ясно, что после каж­до­го пе­ре­ле­та сорок чет­ность суммы но­ме­ров елок, на ко­то­рых они сидят, не ме­ня­ет­ся. А из­на­чаль­но это сумма равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6  =  21. Зна­чит, она оста­нет­ся не­чет­ной. Если же все со­ро­ки со­бе­рут­ся на одной елке, то сумма их но­ме­ров долж­на де­лить­ся на 6, то есть быть чет­ной. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  нет.