ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 506066 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство

$косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 9 конец аргумента меньше или равно минус дробь: числитель: x в квадрате плюс 9, знаменатель: a плюс косинус x конец дроби минус a$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, если x удовлетворяет этому неравенству, то и $минус x$ ему тоже удовлетворяет. Поэтому единственное решение возможно только если $x=0.$ Кроме того, при $x=0$ должно выполняться равенство, иначе по непрерывности всех функций в уравнении рядом с $x=0$ будут и еще решения.

Получаем $1 минус 6= дробь: числитель: минус 9, знаменатель: a плюс 1 конец дроби минус a.$

Убедимся в единственности решения при $a=2.$

$2 плюс косинус x$ положительно и на него можно домножать.

$левая круглая скобка 2 плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате минус 2 корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 9 конец аргумента левая круглая скобка 2 плюс косинус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно 0,$

$левая круглая скобка 2 плюс косинус x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 9 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0,$

$2 плюс косинус x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 9 конец аргумента =0,$

$2 плюс косинус x= корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 9 конец аргумента .$

Здесь левая часть не меньше трех, правая не больше трех. Равенство одновременно возможно лишь при $x=0.$

Ответ: $a=2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 37

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь