PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 506032 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения на промежутке 
Решение. а) Найдем ограничения на 
Преобразуем исходное уравнение:
Уравнение 
решений не имеет:
или 
Выше было отмечено, что числа вида 
не могут быть решениями исходного уравнения. Следовательно, решениями уравнения являются только числа вида 
б) В промежутке 
лишь один раз встретится число вида 
при 
Следовательно, искомым корнем является 
Ответ: а) б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 506032
а) б)
б) 
лежат в одной плоскости, так как эта плоскость проходит через две пересекающиеся прямые MP и 
по способу построения. 
так как SD — наклонная к плоскости основания пирамиды, D — ее проекция, 
по свойству квадрата; 
по теореме о трех перпендикулярах.
то 
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
Тогда в равнобедренном треугольнике DSB SO — биссектриса, следовательно, 
Искомое отношение 
как вертикальные. Отсюда: 
Пусть 
тогда 
и 
Поскольку 
то эти треугольники подобны. Отсюда: 
т. е. 
значит, 
— наклонная к (MTP), TK — ее проекция, из перпендикулярности SK и PM по теореме о трех перпендикулярах следует, что 
В таком случае: 
потому не удовлетворяет смыслу задачи, 
Найденное значение 
и есть искомое отношение.
» следует читать так:
служит точка K». Остальные записи читаются аналогично.
Тогда 
Для таких 
и 
и 
Однако, для таких значений x осталось проверить выполнение условия 
на 
является монотонно возрастающей как сумма двух возрастающих функций: 
и одной неубывающей функции 
Найдем знак функции в точках 
и 
Следовательно, множество 
Отсюда вывод: на промежутке 
функция 
всюду положительна. Таким образом, решениями второго неравенства является множество 
Если нам удастся доказать, что 
то из истинности этого неравенства будет следовать также истинность неравенства 
Возможны следующие варианты:
Тогда MCDK — прямоугольник и 
Тогда KCMD — прямоугольник и 
и по теореме косинусов для треугольника MCK имеем
Из формулы 
находим: 
а значит, если 
корень уравнения, то и 
— тоже корень. Чтобы уравнение имело единственный корень, оно должно иметь решением 
и не иметь других решений. Подставим 
и равенство достигается при 
Тогда, обменяв 5 дублонов, получим 2 пистоля, а обменяв пистоли, получим 6 дублонов.
Обменяв n дублонов, мы получим 
пистолей, где 
дублонов, поэтому количество дублонов не могло увеличиться.
и после первого обмена мы получим n пистолей. Тогда, как показано выше, за два обмена мы получим не более n пистолей, значит, и количество дублонов после четвертого обмена не больше, чем после второго.