PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Ограничения на 
Ясно, что 
по определению логарифма (ведь это будет главным «инструментом» при решении данного уравнения), поэтому при нахождении ограничений на x нам пока что достаточно иметь в виду всего лишь систему 
Однако, среди искомых решений этой совокупности уравнений нет значений x, при которых их косинус обратился бы в нуль. Дело в том, что, когда косинус некоторого аргумента обращается в нуль, его синус либо равен единице, либо равен минус единице. А ограничения на x с учетом области определения логарифмической функции в данном случае не позволяют синусу иметь ни положительный знак, ни быть равным единице. Следовательно, имеет место:
б) Ясно, что в промежуток 
попадает лишь один корень: 
Ответ: а) 
б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
и 
соответственно. Определить угол между гранями BAD и CAD.
и напишем теорему косинусов для трехгранного угла.
и 
Действительно, 
(неравенство очевидное); 
и 
Докажем, что 
получим: 
(неравенство истинно). Итак, 
и 
центры меньшей и большей окружностей, а за B и C — лежащие на них вершины треугольника соответственно. Пусть далее 
тогда 
не треугольник. Проверка этого случая показывает, что такая ситуация воможна — точки A и O2 (лежащая на меньшей окружности) являются сторонами равностороннего треугольника со стороной 2, третья вершина которого лежит на большей окружности.
или 2.
(независимо от x). Поэтому 
что невозможно — 
причем равенство одновременно не достигается.