Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 506016
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно минус 1, новая стро­ка \log _3\log _ дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби плюс 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2, новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 11 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно 1, новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _211 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно 1, новая стро­ка x боль­ше \log _211. конец со­во­куп­но­сти .

Ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка \log _211; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 боль­ше 0, новая стро­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 боль­ше 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 боль­ше 0, новая стро­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше 1, x боль­ше 3, конец си­сте­мы . новая стро­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 мень­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше 1, x боль­ше 3, конец си­сте­мы . новая стро­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше x мень­ше 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше x мень­ше 1, новая стро­ка 3 мень­ше x мень­ше 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Для таких x:

\log _3\log _ дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но \log _3\log _ дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \log _31 рав­но­силь­но \log _ дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби рав­но­силь­но 16x в квад­ра­те минус 64x плюс 48 минус 9 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 16x в квад­ра­те минус 64x плюс 39 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 32 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 умно­жить на 32 минус 16 умно­жить на 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 32 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 64 минус 39 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 32 минус 4 умно­жить на 5, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 32 плюс 20, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Най­дем ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы с уче­том огра­ни­че­ний на x.

Пре­жде до­ка­жем не­ра­вен­ства дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Дей­стви­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 13 мень­ше 8 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 5 мень­ше 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 25 мень­ше 32 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное);

 

дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 3 боль­ше 8 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та боль­ше 5 рав­но­силь­но 32 боль­ше 25 рав­но­силь­но 5 мень­ше 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 25 мень­ше 32 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства: левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Для по­лу­че­ния пе­ре­се­че­ния ре­ше­ний обоих не­ра­венств срав­ним числа 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и \log _211. До­ка­жем, что 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше \log _211:

2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше \log _211 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше \log _211 минус 2 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше \log _211 минус \log _24 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше \log _22,75 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше дробь: чис­ли­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2,75, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби .

Левую часть по­след­не­го не­ра­вен­ства не­сколь­ко уве­ли­чим, а пра­вую же часть  — умень­шим. Учи­ты­вая, что ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 1,42, e мень­ше 2,7, по­лу­чим: 1,42 мень­ше дробь: чис­ли­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм e, зна­ме­на­тель: 0,7 конец дроби рав­но­силь­но 1,42 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 0,7 конец дроби (не­ра­вен­ство ис­тин­но). Итак, 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 11.

Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 29
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Си­сте­мы не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025