На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или −1, причем не все числа одинаковые. Возьмем все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.
а) Какая наименьшая сумма может получиться?
б) А какая наибольшая?
а) Если два соседних произведения равны, то первое число левого произведения равно последнему числу правого, то есть равны числа через 10 мест. Так как 10 и 999 взаимно просты, то шагая через 10 мест, мы обойдем все числа. Но среди чисел есть разные, значит, и среди произведений тоже, значит, хотя бы одно произведение равно 1. Приведем пример, когда одно произведение равно 1, а остальные 998 равны −1. Если номер числа кончается на 9, то ставим минус единицу, иначе единицу. Тогда произведение чисел с 999-го по 9-ое положительно, а остальные отрицательны. Значит, минимальная сумма равна 1 − 998 = −997.
б) Пусть две минус единицы стоят рядом, а все остальные числа — единицы. Тогда отрицательными будут ровно два произведения (те, которые захватывают ровно одну из этих минус единиц), а остальные – положительными. Докажем, что менее двух отрицательных произведений не получится. Произведение всех 999 произведений равно десятой степени произведения всех чисел, то есть равно 1. Значит, среди произведений четное число отрицательных, значит, их не менее двух. Таким образом, максимальная сумма равна −2 + 997 = 995.
Ответ: а) −997; б) 995.