Ре­ше­ние. а)   Вос­поль­зу­ем­ся усло­ви­ем ра­вен­ства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и толь­ко тогда, когда ее чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель при этом от­ли­чен от нуля:

Итак, а урав­не­ние ре­ше­ний не имеет. Кроме того, по­лу­чи­ли, что т. е. А это зна­чит, что серия кор­ней по­лу­ча­е­мых из урав­не­ния не могут быть кор­ня­ми ис­ход­но­го урав­не­ния. Ис­ко­мы­ми кор­ня­ми будут числа вида

б)  По­сколь­ку за­дан­ный про­ме­жу­ток охва­ты­ва­ет лишь первую, тре­тью и чет­вер­тую чет­вер­ти еди­нич­ной окруж­но­сти, то за­дан­ное урав­не­ние на про­ме­жут­ке кор­ней не имеет.

Ответ:а) б) таких кор­ней нет.

Ре­ше­ние. Ре­ше­ние:

Пусть K  — се­ре­ди­на Со­еди­ним K и и S от­рез­ка­ми. Ясно, что ( по свой­ству ме­ди­а­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка).

по трем сто­ро­нам. (По усло­вию   — общая сто­ро­на). От­сю­да

Те­перь рас­смот­рим и У них:   — общая сто­ро­на. Сле­до­ва­тель­но,

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ASB SK  — ме­ди­а­на по спо­со­бу по­стро­е­ния, сле­до­ва­тель­но, и вы­со­та.

Со­глас­но усло­вию за­да­чи

От­сю­да SK  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

Из­вест­но, что объем пи­ра­ми­ды SABC в два раза боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды А это зна­чит, что вы­со­та пи­ра­ми­ды SABC в два раза длин­нее вы­со­ты пи­ра­ми­ды EABC, так как ос­но­ва­ния у них общие.

Пусть O  — про­ек­ция точки E на плос­кость Ясно, что точка O будет ле­жать на от­рез­ке

В тре­уголь­ни­ке SKC как два пер­пен­ди­ку­ля­ра к одной и той же плос­ко­сти, кроме того Зна­чит, OE  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка От­сю­да

Рас­смот­рим Зна­чит,

Пусть Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную Тогда:

Решим это не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

По­лу­чи­ли: А это зна­чит:

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Пре­жде чем ис­кать пре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы, до­ка­жем не­ра­вен­ство

Таким об­ра­зом, пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем два слу­чая.

Слу­чай 1. Точка M лежит ближе к точке B.

Слу­чай 2. Точка M лежит ближе к точке D.

Ответ: 100 или 150.

Ре­ше­ние. Ясно что при не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство. Раз­бе­рем два слу­чая.

1)  

Это не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при всех тогда и толь­ко тогда, когда оно вы­пол­ня­ет­ся при то есть когда

2)  

Это не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при всех тогда и толь­ко тогда, когда оно вы­пол­ня­ет­ся при то есть когда

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Каж­до­му счаст­ли­во­му би­ле­ту по­ста­вим в со­от­вет­ствие билет, номер ко­то­ро­го со­сто­ит из цифр, до­пол­ня­ю­щих со­от­вет­ству­ю­щие цифры но­ме­ра ис­ход­но­го би­ле­та до де­вят­ки. На­при­мер, билет 239601 по­лу­чит в пару билет 760398. Оче­вид­но, парой к каж­до­му счаст­ли­во­му би­ле­ту яв­ля­ет­ся также счаст­ли­вый билет. При этом ни­ка­кой билет не по­лу­ча­ет в пару себя (цифра не может до­пол­нять до де­вят­ки самое себя, по­сколь­ку 9  — не­чет­ное число). Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли раз­би­е­ние всех счаст­ли­вых би­ле­тов на пары.

б)  Рас­смот­рим спо­соб раз­би­е­ния би­ле­тов на пары из пунк­та а). Сумма но­ме­ров би­ле­тов в каж­дой паре равна 999999  =  999 · 1001, зна­чит, она де­лит­ся на 999. Сло­жив эти по­пар­ные суммы, по­лу­чим число, крат­ное 999.