Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505980
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 10 умно­жить на 27 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 3\log _0,5x, зна­ме­на­тель: 2 плюс \log _2x конец дроби боль­ше или равно 2\log _0,5x плюс 1. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 10 умно­жить на 27 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 10 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _3 дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2x боль­ше \log _3 дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 2x боль­ше \log _311 минус 1 рав­но­силь­но x боль­ше дробь: чис­ли­тель: \log _311 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

дробь: чис­ли­тель: 3\log _0,5x, зна­ме­на­тель: 2 плюс \log _2x конец дроби боль­ше или равно 2\log _0,5x плюс 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 3\log _2x, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 2 конец дроби плюс 2\log _2x минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x минус 3\log _2x плюс 4\log _2x минус \log _2x минус 2, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x минус 2, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x минус 1, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка \log _2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \log _2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 2 конец дроби боль­ше или равно 0.

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную t=\log _2x. Тогда: дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t плюс 2 конец дроби боль­ше или равно 0.

Решим это не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

 

 

По­лу­чи­ли: минус 2 мень­ше t мень­ше или равно минус 1, t боль­ше или равно 1. А это зна­чит:

минус 2 мень­ше \log _2x мень­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но \log _2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше \log _2x мень­ше или равно \log _2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; \log _2x боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но x боль­ше или равно 2.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пре­жде чем ис­кать пре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы, до­ка­жем не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: \log _311 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :

дробь: чис­ли­тель: \log _311 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но \log _311 минус 1 боль­ше 1 рав­но­силь­но \log _311 боль­ше 2 рав­но­силь­но \log _311 боль­ше \log _39 рав­но­силь­но 11 боль­ше 9 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Таким об­ра­зом, пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 23
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025