РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 5410673

А. Ларин: Тренировочный вариант № 17.

Дано уравнение $дробь: числитель: 6 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 2, знаменатель: левая круглая скобка 3 косинус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: минус тангенс x конец аргумента конец дроби =0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, со стороной основания, равной $4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ и боковым ребром 5 найти угол между прямой AB и плоскостью, проходящей через середины BC и $DС$ и вершину $S.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Решите систему неравенств: $система выражений новая строка \log _x плюс 5 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка умножить на \log _4 минус x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка \left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс \left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство системы. В левой части неравенства перейдем к логарифмам по основанию 2. Далее будем пользоваться методом рационализации:

$дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби больше или равно 0.$

Найдем некоторые ограничения на $x:$ $система выражений новая строка x меньше 6, новая строка x больше минус 5, новая строка x больше минус 3, новая строка x меньше 4 конец системы . равносильно система выражений x меньше 4, x больше минус 3 конец системы . равносильно минус 3 меньше x меньше 4.$

Для таких $x:$

$дробь: числитель: левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 3 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 3 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Так как при всех x, удовлетворяющих неравенству $минус 3 меньше x меньше 4,$ $x минус 5 меньше 0,$ $x плюс 4 больше 0,$ то далее нам достаточно решить неравенство $дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби меньше или равно 0.$ Решения последнего неравенства: $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка ,$ что удовлетворяет условию $минус 3 меньше x меньше 4.$ Решения первого неравенства системы  — множество $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка .$

Теперь решим второе неравенство системы на множестве $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка .$

Поскольку $x плюс 1$ и $минус x минус 1$ противоположны, то, очевидно, что $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 0$ для всех $x не равно минус 3.$ Известно, что для любого положительного числа справедливо неравенство $a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби больше или равно 2.$ Поскольку нам задано неравенство вида $a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби меньше или равно 2,$ то нам следует решить уравнение $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =2.$ А такое равенство возможно лишь при выполнении условия $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1,x не равно минус 3.$

Решим последнее уравнение методом рационализации:

$\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1; левая круглая скобка \left| 2x минус 6 | минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка \left| 2x минус 6 |=1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус 6=1, новая строка 2x минус 6= минус 1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=3,5, новая строка x=2,5, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$ $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1; левая круглая скобка \left| 2x минус 6 | минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка \left| 2x минус 6 |=1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус 6=1, новая строка 2x минус 6= минус 1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=3,5, новая строка x=2,5, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$ $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1; левая круглая скобка \left| 2x минус 6 | минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка \left| 2x минус 6 |=1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус 6=1, новая строка 2x минус 6= минус 1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=3,5, новая строка x=2,5, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$

Значение $x=3,5$ не принадлежит множеству $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка .$

Итак, решения исходной системы $левая фигурная скобка минус 1;2,5 правая фигурная скобка .$

Замечание.

Решение уравнения $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1$ можно вести и так: прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x плюс 1=0, новая строка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1, новая строка \left| 2x минус 6 |=1. конец совокупности .$ $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x плюс 1=0, новая строка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1, новая строка \left| 2x минус 6 |=1. конец совокупности .$

Далее решение ведется, как показано выше.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 1;2,5 правая фигурная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM = 10 и $косинус \angle KLM= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите диагональ LN.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Найдите все значения параметра a, при которых все числа x из отрезка [1; 5] удовлетворяют неравенству $3ax плюс 2 корень из: начало аргумента: 3x плюс 1 конец аргумента минус 6x плюс a минус 5 меньше 0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

а)  На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

б)  Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Решение. а)  Хотя бы одно кольцо надо распилить. Тогда получается одно распиленное кольцо и цепочка, содержащая 10 колец. Ясно, что уже на второй день произвести оплату не удастся. Значит, распилов должно быть как минимум два. Покажем, что этого хватит: распилим четвертое кольцо полученной цепочки (из десяти колец). Тогда будем иметь два распиленных кольца, одну цепочку в три кольца и одну в шесть колец. В первый день отдаем кольцо, во второй еще одно. На третий день отдаем цепочку из трёх колец, и получаем назад два кольца. На четвертый и пятый день отдаем оп одному кольцу. На шестой день отдаем цепочку из шести колец и получаем обратно пять колец. Далее ясно.

б)  Разрезание n колец дает n распиленных колец и не более чем n цепочек.

Для выполнения условий задачи самая короткая цепочка не может состоять более, чем из $n плюс 1$ кольца. Следующая по длине не может состоять из более чем $n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ кольца. Следующая по длине цепочка не может состоять из более чем $n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=4 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ кольца. И так далее. Получается геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Таким образом, максимально в исходной цепочке может быть

$n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =$
$=n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс умножить на s плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$

$= n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка =2 в степени n умножить на левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1$ колец.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505942	а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) Таких корней нет.
2	505943	$арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби$
3	505944	$левая фигурная скобка минус 1;2,5 правая фигурная скобка .$
4	505945	36 или $8 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$
5	505946	$a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин: Тренировочный вариант № 17.

Ключ