Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Из со­во­куп­но­сти урав­не­ний по­лу­чим сле­ду­ю­щие серии кор­ней:

Од­на­ко за­ме­тим, что среди них име­ют­ся сов­па­да­ю­щие корни: а серии кор­ней и можно объ­еди­нить в одну серию Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния будут числа вида:

б)   До­ка­жем, что Дей­стви­тель­но, Оче­вид­но, что

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. По­сколь­ку то

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство. Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких зна­че­ний x будем иметь:

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­чим ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Вве­дем новую пе­ре­мен­ную Тогда и вто­рое не­ра­вен­ство при­мет вид:

По­лу­чи­ли: Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Од­на­ко, пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы ока­жет­ся пу­стым, по­сколь­ку До­ка­жем это:

Это с одной сто­ро­ны. С дру­гой же сто­ро­ны, пер­вое не­ра­вен­ство от­ри­ца­тель­ных ре­ше­ний не имеет.

Ответ: си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку и (впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу), тре­уголь­ни­ки LKF и MNF по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Пусть Тогда

Най­дем по фор­му­ле Ге­ро­на пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLF.

Будем пока счи­тать, что

Най­дем по тео­ре­ме ко­си­ну­сов угол KFL:

тогда

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке KFN имеем от­ку­да

На­ко­нец, по уси­лен­ной тео­ре­ме си­ну­сов

За­ме­тим те­перь, что если то и все вы­чис­ле­ния дают ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной тре­уголь­ни­ка около FLM, ко­то­рый по­до­бен тре­уголь­ни­ку KFN с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около KFN, равен

Ответ: или

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем вто­рое урав­не­ние в виде Тогда и Итак, 

Пе­ре­пи­шем те­перь пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

Зна­чит,

За­ме­тим, что воз­мож­но. Для этого сле­ду­ет взять и тогда во всех не­ра­вен­ствах по­лу­ча­ет­ся ра­вен­ство.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть Луж­ков про­ез­жа­ет круг за n минут, а Ба­ту­ри­на за минут.

Из­вест­но, что В про­ме­жут­ке между встре­ча­ми Луж­ков и Ба­ту­ри­на про­ез­жа­ют в сумме ровно один круг. Зна­чит, к мо­мен­ту 7-й встре­чи они про­еха­ли в сумме 7 кру­гов, при­чем каж­дый из них про­ехал целое число кру­гов. Луж­ков про­ехал боль­ше кру­гов, чем Ба­ту­ри­на  — 6, 5 или 4. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем три воз­мож­ных слу­чая:

Из урав­не­ний по­лу­ча­ем, что или Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко по­след­ний ва­ри­ант. Тогда

Ответ: 36 и 48.