1. Тип Д8 C1 № 505888 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла, Формулы приведения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
Из совокупности уравнений получим следующие серии корней: 
Однако заметим, что среди них имеются совпадающие корни: а серии корней 
и 
можно объединить в одну серию 
Таким образом, решениями уравнения будут числа вида: 
б)
Докажем, что 
Действительно, 
Очевидно, что 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505888
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла, Формулы приведения
то 
Тогда 
и второе неравенство примет вид: 
Перейдем к переменной 
Докажем это: 
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.
и 
(вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), треугольники LKF и MNF подобны с коэффициентом 
Пусть 
Тогда 
или 
откуда 
то 
и все вычисления дают радиус окружности, описанной треугольника около FLM, который подобен треугольнику KFN с коэффициентом 
Значит, радиус окружности, описанной около KFN, равен 
или 
Тогда 
и 
Итак, 
возможно. Для этого следует взять 
и 
тогда во всех неравенствах получается равенство.
минут.
В промежутке между встречами Лужков и Батурина проезжают в сумме ровно один круг. Значит, к моменту 7-й встречи они проехали в сумме 7 кругов, причем каждый из них проехал целое число кругов. Лужков проехал больше кругов, чем Батурина — 6, 5 или 4. Таким образом, получаем три возможных случая:
или 
Условию удовлетворяет только последний вариант. 