Ре­ше­ние. a)  При усло­вии спра­вед­ли­ва фор­му­ла

б)   Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью пе­ре­бо­ра целых зна­че­ний За­ме­тим, что в нашем слу­чае для обеих серий кор­ней ми­ни­маль­ным целым зна­че­ни­ем n будет 1. Каж­дое по­сле­ду­ю­щее зна­че­ние корня по­лу­чим, при­бав­ляя к нему число Ре­зуль­та­ты за­не­сем в таб­ли­цу:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат (см. рис.).

В вы­бран­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат: , , ; ;

Урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид: Пусть Най­дем зна­че­ния при

Ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: или

Рас­сто­я­ние от точки S до ука­зан­ной плос­ко­сти будем на­хо­дить по фор­му­ле: где   — ко­ор­ди­на­ты точки

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство. Оно рав­но­силь­но си­сте­ме не­ра­венств:

Вто­рое не­ра­вен­ство по­лу­чен­ной си­сте­мы вы­пол­ня­ет­ся при всех зна­че­ни­ях x, по­сколь­ку дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на мень­ше нуля (). Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ние этой си­сте­мы сов­па­дет с ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства

Итак, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства за­дан­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Вто­рое не­ра­вен­ство за­дан­ной си­сте­мы пе­ре­пи­шем так:

Это не­ра­вен­ство верно толь­ко при усло­вии вы­пол­не­ния усло­вия Зна­чит,

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства за­дан­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Но До­ка­жем это:

Сле­до­ва­тель­но, пе­ре­се­че­ние мно­жеств ре­ше­ний двух не­ра­венств за­дан­ной си­сте­мы пусто, т. е. си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

Ответ: ре­ше­ний нет.

Ре­ше­ние. За­да­ча тре­бу­ет найти пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков АВТ и АСТ.

Ясно, что

По свой­ству се­ку­щей и ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из точки вне круга имеем:

Также за­ме­тим, что по свой­ству ка­са­тель­ной к окруж­но­сти будем иметь: АК = АМ = 4, ВМ = ВТ, СТ = КС.

Слу­чай 1. Пусть BT = BM = x.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи.

Зна­чит,

Итак,

Слу­чай 2.

Пусть T= C = y.

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

или

Ответ: или

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Это квад­рат­ное урав­не­ние, боль­ше двух кор­ней оно иметь не может, а два корня имеет тогда и толь­ко тогда, когда его дис­кри­ми­нант по­ло­жи­те­лен.

То есть

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть Ясно, что Про­ве­ряя по­лу­ча­ем, что на­ту­раль­ных удо­вле­тво­ря­ю­щих ра­вен­ству не су­ще­ству­ет.

б)  Верно, так как Зна­чит, a_n – ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 3.

в)  Не может. Если эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей, то вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство: то есть Рас­кро­ем скоб­ки: Ясно, что это ра­вен­ство не­воз­мож­но. Про­ти­во­ре­чие.

г)  Не может. Ясно, что ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка это бо́льший член по­сле­до­ва­тель­но­сти. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем ра­вен­ство: Рас­кро­ем скоб­ки:

После упро­ще­ний по­лу­чим или По­след­нее урав­не­ние ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах не имеет.

Ответ: а) не может; б) верно; в) не может; г) не может.