PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни на промежутке 
Решение. а) Ясно, что 
так как степенная функция с целым отрицательным показателем определена только для чисел, отличных от нуля:
Уравнение 
не имеет из-за ограниченности синуса. Рассмотрим второй множитель:
Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида
б) Отбор корней можно сделать несколькими способами:
1. Путем решения двойных неравенств.
Решим неравенство 
относительно целых 
При 
получим 
при 
Теперь решим неравенство 
При 
при 
при 
Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими заданному отрезку, являются числа: 
2. С помощью графика функции 
Для этого достаточно построить график для значений x от 
до 
пересечь график прямыми 
Точек пересечения этих прямых и графика функции 
окажется 5.
Абсциссы точек пересечения легко обнаружить:
3. Перебором различных целых значений 
Легко заметить, что из серии корней 
можно получить искомые корни только при 
а из серии — только при 
При значениях 
дальнейшие поиски корней не имеет смысла.
4. С помощью единичной окружности
Однако, как показывает опыт, последний способ отбора корней, принадлежащих заданному промежутку, с помощью единичной окружности в большинстве случаев является самым удобным способом, быстро приводящим к цели.
Замечание: В самом начале решения задачи мы отметили, что 
Если в конце решения мы получили бы результат 
или 
то серию корней 
исключили бы как посторонние.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
все ребра которой равны, точка K — середина 
Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью 
где P — середина 
Ось x направим по OC, ось y — по OB, ось z — по 
— середина 
При выбранной системе координат и длине ребра призмы найдем координаты нужных точек:
, а плоскость 
пройдет через точку 
, т. е. совпадет с плоскостью 
будем искать в виде 
Пусть 
Найдем значения 
и c методом неопределенных коэффициентов.
или 
и 
соответственно. 
Для отыскания угла 
(так обозначим искомый угол) воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов. 
Поэтому 
для всех 
Следовательно, второе неравенство на промежутке 
равносильно неравенству 
и 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
относительно 
использована теорема Виета.
Рассмотрим три случая. 
Отсюда 
Отсюда
Получаем:
лишь в двух случаях.
Этот случай невозможен. Действительно, пусть 
— 
а потому больший корень лежит правее 
т. е. 
и 
такие, что 
Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.
такую, что она является квадратом натурального числа.
а сумма 
где k — натуральное число. Значит, 
Таким образом, сумма 
Поэтому минимальное возможное значение 
Если сумма 
минимальна, значит, 
По условию, 
поэтому 
Искомое наибольшее значение c = 3.
а из того, что 
— арифметическая прогрессия, следует равенство 
Значит, 
Число b должно быть минимально, поэтому 
тогда 
Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда 
Подбором получаем, что единственная пара чисел 
такая, что 
и удовлетворяющая последнему равенству, это пара 
Тогда получаем, что 
и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что 
делится на 13. 
даются тривиальным решением 
и рекуррентными формулами 
то есть являются множеством упорядоченных пар 
Тогда описанную в условии прогрессию составляют числа 1, 1692, 2392, а её искомая разность 