Ре­ше­ние. а)  

б)   Вы­бор­ка кор­ней. Ясно, что ис­ко­мое зна­че­ние един­ствен­ное:

Ответ: a) б)

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, вы­со­та ос­но­ва­ния AH равна от­ку­да где x  — длина

Как из­вест­но, где r  — ра­ди­ус впи­сан­ной сферы, V  — объем тет­ра­эд­ра, S  — пло­щадь его по­верх­но­сти, от­ку­да

(дру­гих кор­ней нет из-за мо­но­тон­но­сти левой части).

Про­ек­ция цен­тра опи­сан­ной сферы на плос­кость ос­но­ва­ния - центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния, ра­ди­ус ко­то­рой равен По­сколь­ку центр сферы рав­но­уда­лен от A и S, он на­хо­дит­ся на вы­со­те над плос­ко­стью ос­но­ва­ния. По­это­му ра­ди­ус сферы (рас­сто­я­ние от цен­тра до точки A) со­став­ля­ет

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких

С учётом огра­ни­че­ний x по­лу­чим мно­же­ство ре­ше­ний рас­смат­ри­ва­е­мо­го не­ра­вен­ства:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ясно, что пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы есть мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BAC имеем от­ку­да

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ADC имеем от­ку­да и по тео­ре­ме, об­рат­ной к тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник ADC пря­мо­уголь­ный.

б)  По­сколь­ку оба тре­уголь­ни­ка ADC и BDC  — пря­мо­уголь­ные, их цен­тры опи­сан­ных окруж­но­стей сов­па­да­ют с се­ре­ди­на­ми их ги­по­те­нуз. По­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние  — длина сред­ней линии тре­уголь­ни­ка ABC, и равно

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Тре­бу­ет­ся, чтобы при всех То есть чтобы на всем этом от­рез­ке.

Оче­вид­но, наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет при и это а наи­боль­шее либо при либо при Оче­вид­но, вто­рое боль­ше.

Итак, до­ста­точ­но будет вы­пол­не­ния двух не­ра­венств: и то есть

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что пар­тия про­дол­жа­лась 5 часов, а 1 ми­ну­та 51 се­кун­да  — это ми­ну­ты. Обо­зна­чим это время за Пусть мо­дуль раз­но­сти по­ка­за­ний часов в любой мо­мент мень­ше Тогда время, за­тра­чен­ное пер­вым шах­ма­ти­стом на пер­вый ход, мень­ше t, а каж­дым шах­ма­ти­стом на любой сле­ду­ю­щий ход  — мень­ше Стало быть, общая дли­тель­ность пар­тии мень­ше минут, то есть мень­ше 5 часов. Про­ти­во­ре­чие.

б)  При­ведём при­мер пар­тии, в ко­то­рой мо­дуль раз­но­сти по­ка­за­ний часов всё время был мень­ше 2 мин. Пусть на пер­вый ход пер­вый шах­ма­тист по­тра­тил мин, а далее каж­дый из шах­ма­ти­стов тра­тил на свой ход время кроме по­след­не­го хода вто­ро­го, на ко­то­рый было по­тра­че­но время Тогда после 40 ходов часы каж­до­го по­ка­зы­ва­ли Это и есть 2 часа 30 минут. При этом в каж­дый мо­мент раз­ность по­ка­за­ний, оче­вид­но, не пре­вос­хо­ди­ла то есть была мень­ше двух минут.