Ре­ше­ние. а)  Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Вве­дем ко­ор­ди­на­ты так, чтобы на­ча­ло ко­ор­ди­нат ока­за­лось в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са, а оси x и z были на­прав­ле­ны по сто­ро­нам CB и CD со­от­вет­ствен­но. Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен r, а ра­ди­ус шара R, при­чем его центр O лежит в об­ла­сти, где Тогда точки имеют сле­ду­ю­щие ко­ор­ди­на­ты

Про­ек­ция точки O на плос­кость ос­но­ва­ния имеет ко­ор­ди­на­ты Луч, про­ве­ден­ный из цен­тра в эту точку, пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке Урав­не­ние об­ра­зу­ю­щей, со­дер­жа­щей эту точку (в па­ра­мет­ри­че­ской форме)  — Оче­вид­но, шар дол­жен ка­сать­ся этой об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са. Зна­чит, урав­не­ние

долж­но иметь един­ствен­ный ко­рень. После упро­ще­ний урав­не­ние сво­дит­ся к виду а его дис­кри­ми­нант равен от­ку­да

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Ис­сле­ду­ем вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Левая часть этого не­ра­вен­ства пред­став­ля­ет из себя квад­рат­ный трех­член от­но­си­тель­но функ­ции Од­на­ко, чет­верть его дис­кри­ми­нан­та мень­ше нуля

Сле­до­ва­тель­но, упо­мя­ну­тый квад­рат­ный трех­член стро­го по­ло­жи­те­лен при всех зна­че­ни­ях т. е. вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы не­вы­пол­ни­мо ни при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной. От­сю­да вывод  — си­сте­ма не­сов­мест­на.

Ответ: ре­ше­ний нет.

За­ме­ча­ние.

У пер­во­го не­ра­вен­ства ре­ше­ния есть. Их можно по­лу­чить сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких x будем иметь:

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­чим ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку по усло­вию бис­сек­три­сы внеш­них углов B и C тре­уголь­ни­ка BOC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, она и есть центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

б)  От­ме­тим сразу, что OE  — бис­сек­три­са угла

По­сколь­ку че­ты­рех­уголь­ник AODE  — впи­сан­ный. Зна­чит, (как хорды, стя­ги­ва­ю­щие рав­ные дуги в его опи­сан­ной окруж­но­сти. Ра­вен­ство дуг сле­ду­ет из ра­вен­ства углов AOE и DOE).

От­ло­жим на про­дол­же­нии луча BA за точку A точку так, чтобы Тогда

по­это­му тре­уголь­ни­ки CDE и C₁AE равны по двум сто­ро­нам и углу между ними.

Далее тогда тре­уголь­ни­ки и CBE равны по углам и одной сто­ро­не (сто­ро­на BE у них общая).

Тогда

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что одним из кор­ней яв­ля­ет­ся x  =  0, а также если число x яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния, то и число   — тоже.

По­это­му корни этого мно­го­чле­на: 0, d, 2d, при­чем Тогда имеем

От­сю­да

Под­ста­вим это вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы.

Ответ: a  =   −2

Ре­ше­ние. a)  Вме­сто того чтобы по­лу­чить с по­мо­щью опе­ра­ций А, Б, В из числа 4 число 1972 , мы по­про­бу­ем по­лу­чить из числа 1972 число 4 с по­мо­щью об­рат­ных опе­ра­ций:

А'  — вы­чер­ки­ва­ние цифры 4 в конце;

Б'  — вы­чер­ки­ва­ние цифры 0 в конце;

В'  — умно­же­ние числа на 2 .

При этом мы будем каж­дый раз, как толь­ко это воз­мож­но, при­ме­нять опе­ра­цию А' или Б', чтобы по воз­мож­но­сти на каж­дом шаге умень­шать наше число. По­лу­чим:

Ясно, что про­чи­тав эту по­сле­до­ва­тель­ность от конца к на­ча­лу, мы по­лу­чим нуж­ный ре­зуль­тат. (Опе­ра­ция Б' здесь не ис­поль­зу­ет­ся.)

б)  До­ка­жем, что из лю­бо­го чет­но­го числа можно с по­мо­щью опе­ра­ций А', Б', В' по­лу­чить мень­шее чет­ное число (ясно, что этого до­ста­точ­но для ре­ше­ния за­да­чи – рано или позд­но мы по­лу­чим 4). Здесь до­ста­точ­но рас­смот­реть 5 слу­ча­ев:

1)  10k − k,

2)  (10k + 2) − (20k + 4) − 2k,

3)  (10k + 4) − k − 2k,

4)  (10k + 6) − (20k + 10 + 2) − (40k + 20 + 4) − (4k + 2),

5)  (10k + 8) − (20k + 10 + 6) − (40k + 30 + 2) − (80k + 60 + 4) − (8k + 6).