СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505819

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б) Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

Решение.

a) Вместо того чтобы получить с помощью операций А, Б, В из числа 4 число 1972 , мы попробуем получить из числа 1972 число 4 с помощью обратных операций:

А' — вычеркивание цифры 4 в конце;

Б' — вычеркивание цифры 0 в конце;

В' — умножение числа на 2 .

При этом мы будем каждый раз, как только это возможно, применять операцию А' или Б', чтобы по возможности на каждом шаге уменьшать наше число. Получим:

1972 → 3944 → 394 → 39 → 78 → 156 → 312 → 624 → 62 → 124 → 12 → 24 → 2 → 4

Ясно, что прочитав эту последовательность от конца к началу, мы получим нужный результат. (Операция Б' здесь не используется.)

б) Докажем, что из любого четного числа можно с помощью операций А', Б', В' получить меньшее четное число (ясно, что этого достаточно для решения задачи – рано или поздно мы получим 4). Здесь достаточно рассмотреть 5 случаев:

1) 10kk,

2) (10k + 2) − (20k + 4) − 2k,

3) (10k + 4) − k − 2k,

4) (10k + 6) − (20k + 10 + 2) − (40k + 20 + 4) − (4k + 2),

5) (10k + 8) − (20k + 10 + 6) − (40k + 30 + 2) − (80k + 60 + 4) − (8k + 6).

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства