Ре­ше­ние. a)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Если то

До­ка­жем, что корни урав­не­ния про­ти­во­ре­чат усло­вию Дей­стви­тель­но, од­на­ко,

Од­на­ко, при таких зна­че­ни­ях

Если же то

По­сколь­ку то мы впра­ве раз­де­лить обе части по­след­не­го урав­не­ния на По­лу­чим:

Но при таких зна­че­ни­ях что про­ти­во­ре­чит усло­вию Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида За­дан­но­му про­ме­жут­ку при­над­ле­жат лишь два корня: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим за K се­ре­ди­ну ребра

За­ме­тим, что а се­че­ние плос­ко­стью MNK  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1, от­ку­да его сто­ро­на равна Итак,

Най­дем те­перь рас­сто­я­ние от цен­тра шара (точки O) до плос­ко­сти AMN (это будет по­ло­ви­на вы­со­ты ци­лин­дра).

Оче­вид­но, тре­уголь­ник AMN  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му вы­со­та его сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной и равна

Итак,

Рас­смот­рим се­че­ние шара ра­ди­у­са 1 плос­ко­стью, про­хо­дя­щей на рас­сто­я­нии от его цен­тра. Она вы­се­ка­ет круг ра­ди­у­са

Тогда объем ци­лин­дра равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

За­ме­тим, что обе части по­след­не­го не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­ны, чис­ли­те­ли равны, сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство будет вер­ным при зна­че­ни­ях x, при ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство ко­то­рое рав­но­силь­но не­ра­вен­ству Решим по­след­нее не­ра­вен­ство:

Итак, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства. Най­дем огра­ни­че­ния на x с уче­том ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства:

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве

За­ме­тим, что при любом зна­че­нии будут вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства: сле­до­ва­тель­но, по­след­няя си­сте­ма при­мет вид: что рав­но­силь­но не­ра­вен­ству Если рас­смот­реть вто­рое не­ра­вен­ство на мно­же­стве то по­лу­чим ана­ло­гич­ный ре­зуль­тат толь­ко с той раз­ни­цей, что и придём к си­сте­ме не­ра­венств что, в свою оче­редь, рав­но­силь­но не­ра­вен­ству Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что (по­сколь­ку один из них впи­сан­ный, опи­ра­ю­щий­ся на дугу AC, а вто­рой  — угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, стя­ги­ва­ю­щей дугу AC). Зна­чит, в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках AKC и MBC есть оди­на­ко­вые ост­рые углы, по­это­му они по­доб­ны по двум углам.

Ана­ло­гич­но от­ку­да сле­ду­ет вто­рое ука­зан­ное в усло­вии по­до­бие.

б)  Из пунк­та a мы знаем, что (пер­вое ра­вен­ство  — из по­до­бия AKC и MBC, вто­рое  — из по­до­бия AMC и BLC). При­рав­ни­вая край­ние от­но­ше­ния, на­хо­дим от­ку­да

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что в левой части урав­не­ния за­пи­са­на не­пре­рыв­ная функ­ция, ли­ней­ная на про­ме­жут­ках, не cодер­жа­щих точек или при­чем при зна­че­ния функ­ции не­огра­ни­чен­но воз­рас­та­ют (при по­ло­жи­тель­ных x это оче­вид­но, при от­ри­ца­тель­ных функ­ция упро­ща­ет­ся до что тоже ве­ли­ко при силь­но от­риц­тель­ных x). По­это­му если она не при­ни­ма­ет ка­ко­го-то зна­че­ния (а имен­но зна­че­ния a), то ее зна­че­ния все­гда либо боль­ше него, либо мень­ше (вто­рое не­воз­мож­но).

Для того, чтобы все ее зна­че­ния были боль­ше a, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы ее наи­мень­шее зна­че­ние было боль­ше a.

Но наи­мень­шее зна­че­ние она, оче­вид­но, при­ни­ма­ет в одной из точек, где ме­ня­ет знак под­мо­дуль­ное вы­ра­же­ние (между та­ки­ми точ­ка­ми она ли­ней­на и по­то­му мо­но­тон­на). Итак, нам нужно вы­пол­не­ние двух усло­вий (если мы за­од­но про­ве­рим точку, в ко­то­рой нет наи­мень­ше­го зна­че­ния, хуже от этого не ста­нет).

Слу­чай 1).

Верно при

Слу­чай 2)

По­лу­ча­ем

Итак, окон­ча­тель­ный ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пяти ав­то­мо­би­лей не хва­тит, так как в день, когда один из ав­то­мо­би­лей «от­ды­ха­ет», кому-то не на чем будет ехать. Шести, оче­вид­но, хва­та­ет. На­при­мер, пер­вый ав­то­мо­биль от­ды­ха­ет в по­не­дель­ник и втор­ник, вто­рой  — в среду, тре­тий  — в чет­верг, чет­вер­тый  — в пят­ни­цу, пятый  — в суб­бо­ту, ше­стой в вос­кре­се­нье.

б)  Ясно, что ав­то­мо­би­лей не менее 8. Если каж­дый день«от­ды­ха­ет» не более од­но­го ав­то­мо­би­ля, то всего ав­то­мо­би­лей не боль­ше, чем дней не­де­ли, то есть семи. Зна­чит, в какой-то день от­ды­ха­ет два ав­то­мо­би­ля, и в этот день нам надо ещё как ми­ни­мум 8 ав­то­мо­би­лей. Итого 10. Мы до­ка­за­ли, что мень­ше, чем де­ся­тью ав­то­мо­би­ля­ми обой­тись нель­зя. Де­ся­ти до­ста­точ­но  — со­ста­вим таб­ли­цу. Столб­цы  — ав­то­мо­би­ли, стро­ки  — дни не­де­ли. Зе­ле­ным от­ме­тим отдых ав­то­мо­би­ля.