Окружность касается сторон угла с вершиной O в точках A и B. На этой окружности внутри треугольника AOB взята точка С. Из точки С на прямые OA, OB и AB опущены перпендикуляры соответственно CK, CL и CM.
а) Докажите подобие треугольников AKC и BMC, AMC и BLC.
б) Найдите CM, если CK = 4, CL = 9.
а) Заметим, что 
(поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AC, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC). Значит, в прямоугольных треугольниках AKC и MBC есть одинаковые острые углы, поэтому они подобны по двум углам.
Аналогично 
откуда следует второе указанное в условии подобие.
б) Из пункта a мы знаем, что 
(первое равенство — из подобия AKC и MBC, второе — из подобия AMC и BLC). Приравнивая крайние отношения, находим 
откуда 
Ответ: 6.