Ре­ше­ние. а)  Вы­ра­же­ние имеет смысл, если вы­пол­не­ны сле­ду­ю­щие усло­вия: Но в нашем слу­чае по опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма также долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие Сле­до­ва­тель­но, для на­хож­де­ния огра­ни­че­ний на x до­ста­точ­но про­ве­рить вы­пол­не­ние двух усло­вий: и

Из пер­во­го не­ра­вен­ства по­лу­чим сле­ду­ю­щую не­об­хо­ди­мую ин­фор­ма­цию: А про­вер­ку вы­пол­не­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства от­ло­жим до за­вер­ша­ю­ще­го этапа наших ис­сле­до­ва­ний.

Решим урав­не­ние:

Выше вы­яв­ле­но, что сле­до­ва­тель­но, нам пред­сто­ит ре­шить толь­ко урав­не­ние Его ре­ше­ния из­вест­ны:

Те­перь про­ве­рим вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства для каж­дой из по­лу­чен­ных серий ре­ше­ний.

При
Таким об­ра­зом, серия кор­ней   — серия по­сто­рон­них кор­ней.

Если то

Итак, мно­же­ство кор­ней за­дан­но­го урав­не­ния имеет вид:

б)  Вы­бор­ка кор­ней:

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ство в целых чис­лах:

При ис­ко­мый ко­рень равен

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим Тогда апо­фе­ма пи­ра­ми­ды имеет длину а тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды

За­ме­тим далее, что

За­пи­шем те­перь тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка SDA. По­лу­чим то есть По­это­му

Ясно, что C дру­гой сто­ро­ны, по­счи­тав пло­щадь тре­уголь­ни­ка SAD двумя спо­со­ба­ми, мы по­лу­ча­ем от­ку­да

На­ко­нец,

Ответ: 216.

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

Не­ра­вен­ство ре­ше­ний не имеет.

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы  — мно­же­ство

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы будем ис­кать на мно­же­стве На этом мно­же­стве:

С уче­том огра­ни­че­ний на х по­лу­чим ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Для по­лу­че­ния ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы до­ка­жем не­ра­вен­ство

Сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство верно. В таком слу­чае ре­ше­ни­я­ми за­дан­ной си­сте­мы будут эле­мен­ты мно­же­ства

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку (как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу), а как углы рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ADC, то Кроме того, у тре­уголь­ни­ков ABC и AEC есть общий угол C, по­это­му они по­доб­ны по двум углам.

б)  Из до­ка­зан­но­го в преды­ду­щем пунк­те по­до­бия сле­ду­ет, что то есть от­ку­да и

Ответ:

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну при­чем все эти зна­че­ния до­сти­га­ют­ся.

Ясно что иначе это не­вер­но при

Столь же ясно, что при имеем по­это­му все не­по­ло­жи­тель­ные a под­хо­дят.

Если же то гра­фик пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу вет­вя­ми вниз с вер­ши­ной при По­это­му функ­ция воз­рас­та­ет при а потом на­чи­на­ет убы­вать. Это зна­чит, что если не­ра­вен­ство на­ру­ша­ет­ся в какой-то точке от­рез­ка то оно на­ру­ша­ет­ся либо при (если эта точка лежит на нуж­ном от­рез­ке), либо при или При не­ра­вен­ство вы­пол­не­но.

от­ку­да Тогда По­сколь­ку также и во всех под­хо­дя­щих нам си­ту­а­ци­ях точка лежит на от­рез­ке [1; 3]. Про­ве­рим зна­че­ние в ней.

Итак,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть Тогда За­ме­тим, что От­сю­да

По­это­му сле­до­ва­тель­но, По­это­му еди­ниц в по­сле­до­ва­тель­но­сти бес­ко­неч­ное число.

б)  Со­глас­но а) Это зна­чит, что члены с ин­дек­са­ми, крат­ны­ми 4, могут быть сколь угод­но боль­ши­ми. (Мы можем уве­ли­чи­вать их на двой­ку столь­ко, сколь­ко нужно). Те­перь утвер­жде­ние за­да­чи сле­ду­ет из п. а) и дис­крет­ной не­пре­рыв­но­сти.