Ре­ше­ние. а)   В левой части урав­не­ния вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми по­ни­же­ния сте­пе­ни:

За­ме­тим, что серия кор­ней со­дер­жит­ся в серии Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми ис­ход­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида

б)  

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим для на­ча­ла, что все ребра пи­ра­ми­ды равны Про­ве­дем в гра­нях ABS и ADS от­рез­ки EK и FM, па­рал­лель­ные От­ме­тим также точку T, для ко­то­рой До­ка­жем, что она лежит в плос­ко­сти се­че­ния. Тогда ис­ко­мое се­че­ние - пя­ти­уголь­ник

Обо­зна­чим точку пе­ре­се­че­ния EF и AC за

За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AEF и ABD по­доб­ны (по двум сто­ро­нам) с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му их ме­ди­а­ны от­но­сят­ся так же. Зна­чит, от­ку­да тре­уголь­ни­ки ASC и UTC по­доб­ны (по двум сто­ро­нам) и, зна­чит, от­ку­да и сле­ду­ет нуж­ное утвер­жде­ние. (AU дей­стви­тель­но ме­ди­а­на, по­сколь­ку ), то есть AU со­став­ля­ет со сто­ро­ной такой же угол, какой в по­доб­ном тре­уголь­ни­ке со­став­ля­ет ме­ди­а­на.)

б)   От­ме­тим се­ре­ди­ну SC -- точку Тогда как сред­няя линия. За­ме­тим, что тре­уголь­ник SCD рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Оче­вид­но, EKMF  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку и Най­дем его угол.

по­это­му

из

За­ме­тим, что се­ре­ди­на TU лежит на KM (по­сколь­ку рас­сто­я­ние точки от пе­ре­се­че­ния этих от­рез­ков до плос­ко­сти ос­но­ва­ния будет равно трети вы­со­ты пи­ра­ми­ды, как и на всем от­рез­ке KM и это как раз по­ло­ви­на рас­сто­я­ния от T до ABCD), по­это­му рас­сто­я­ния от U и T до пря­мой KM равны, от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

Итак, вто­рое не­ра­вен­ство имеет смысл, если Для таких зна­че­ний x будем иметь:

По­сколь­ку рас­смат­ри­ва­е­мое не­ра­вен­ство имеет смысл толь­ко при по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях х, то на дан­ном этапе нам до­ста­точ­но ре­шить не­ра­вен­ство на мно­же­стве Оче­вид­но, ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми пе­ре­мен­ной будут эле­мен­ты мно­же­ства Ясно, что пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Угол ABP  — впи­сан­ный. Он из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дуги АСР. Угол BDP как угол между двумя пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся хор­да­ми окруж­но­сти из­ме­ря­ет­ся гра­дус­ной мерой по­лу­сум­мы дуг ВnР и АqС.

Но гра­дус­ные меры дуг ВnР и РmС равны, по­сколь­ку на них опи­ра­ют­ся рав­ные впи­сан­ные углы ВАР и САР. А сумма дуг AqC и CmP со­став­ля­ет дугу ACР.

Таким об­ра­зом, углы ABP и BDP из­ме­ря­ют­ся гра­дус­ной мерой одной и той же дуги и одной и той же окруж­но­сти. Зна­чит, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть ВD = x, тогда СD = 10 – х. По свой­ству бис­сек­три­сы внут­рен­не­го угла тре­уголь­ни­ка будем иметь: AB : AC = BD : CD, т. е.

Итак,

Вы­чис­лим длину бис­сек­три­сы AD тре­уголь­ни­ка АВС. Как из­вест­но, ее квад­рат можно вы­чис­лить по фор­му­ле:

Из­вест­но также свой­ство двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд одной и той же окруж­но­сти, со­глас­но ко­то­ро­му От­ку­да:

Тре­уголь­ни­ки ADB и BDP с ос­но­ва­ни­я­ми AD и PD имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этим ос­но­ва­ни­ям или к про­дол­же­нию од­но­го из них. Сле­до­ва­тель­но,

При­ме­ча­ние:

1.  Пред­по­ло­жим, что мы не пом­ним (не знаем) фор­му­лы квад­ра­та бис­сек­три­сы. В таком слу­чае как можно найти длину бис­сек­три­сы AD при ре­ше­нии дан­ной за­да­чи?

Можно так:

Про­ве­дем вы­со­ту ВК тре­уголь­ни­ка АВС к ос­но­ва­нию АС.
Это с одной сто­ро­ны.

Но с дру­гой же сто­ро­ны, если то:

(числа 3; 4 и 5 – пи­фа­го­ро­ва трой­ка).

Итак,

Ответ:

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, что при это не­воз­мож­но.

Если то под­хо­дит так как

В даль­ней­шем счи­та­ем, что

Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем дан­ное не­ра­вен­ство (потом еще надо будет учесть, что )

Рас­смот­рим те­перь остав­ши­е­ся два слу­чая.

1)  Если Решая не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­чим

Нуж­ные точки най­дут­ся в этом мно­же­стве если

2)  Если Решая не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­чим Нуж­ные точки най­дут­ся в этом мно­же­стве если

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Сумма числа 9 и числа, за­пи­сан­но­го под ним, за­клю­че­на между 10 и 18. Так как на этом от­рез­ке есть толь­ко один точ­ный квад­рат, под чис­лом  9 долж­но быть за­пи­са­но число 7. Ана­ло­гич­но, число 7 долж­но быть за­пи­са­но над чис­лом  9. Также про­ве­ря­ет­ся, что под чис­ла­ми 4, 5 и 6 долж­ны быть за­пи­са­ны числа 5, 4 и 3 со­от­вет­ствен­но. Те­перь уже не­труд­но по­лу­чить ответ:

б)  Не­труд­но ви­деть, что под чис­лом 11 может быть за­пи­са­но толь­ко число 5, но под чис­лом 4 тоже может быть за­пи­са­но толь­ко число 5. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Идея со­сто­ит в том, чтобы све­сти за­да­чу к ана­ло­гич­ной за­да­че для мень­ше­го n. За­пи­шем под чис­лом k число 2025  — k для всех k  =  29, 30, ..., 1996. Тогда сумма чисел в каж­дом столб­це на­чи­ная с 29-⁠го равна 45², а числа от 1 до 28 оста­лись «не­ис­поль­зо­ван­ны­ми». Зна­чит, за­да­ча сво­дит­ся к слу­чаю n  =  28.

Далее под чис­ла­ми k  =  21, 22, ..., 28 за­пи­шем числа 49  — k. За­да­ча све­лась к n  =  20. Затем под чис­ла­ми k  =  16, 17, 18, 19, 20 за­пи­шем числа 36  — k. За­да­ча све­лась к слу­чаю n  =  15 и, на­ко­нец, каж­до­му k  =  1, 2, ..., 15 по­ста­вим в со­от­вет­ствие число 16 − k.