Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 3x=1.

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)   В левой части урав­не­ния вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми по­ни­же­ния сте­пе­ни:

синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 3x=1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 6x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2x плюс 1 плюс ко­си­нус 6x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 плюс ко­си­нус 6x минус ко­си­нус 2x=2 рав­но­силь­но ко­си­нус 6x минус ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но 2 синус 4x умно­жить на синус 2x=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка синус 4x=0, новая стро­ка синус 2x=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 4x= Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка 2x= Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что серия кор­ней дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n,n при­над­ле­жит Z со­дер­жит­ся в серии дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби n,n при­над­ле­жит Z . Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми ис­ход­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби n,n при­над­ле­жит Z .

б)  x_1= минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; x_2= минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; x_3= минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус Пи ; x_4= минус Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; x_5= минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; x_6= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; x_7=0.

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби n,n при­над­ле­жит Z . б) минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 64
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: По­ни­же­ние по­ряд­ка три­го­но­мет­ри­че­ско­го урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025