Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 505736

а) Решите уравнение  синус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x=1.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а)  В левой части уравнения воспользуемся формулами понижения степени:

 синус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x=1 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус 2x плюс 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно

 

 равносильно 2 плюс косинус 6x минус косинус 2x=2 равносильно косинус 6x минус косинус 2x=0 равносильно 2 синус 4x умножить на синус 2x=0 равносильно совокупность выражений  новая строка синус 4x=0,  новая строка синус 2x=0 конец совокупности . равносильно

 

 равносильно совокупность выражений  новая строка 4x= Пи n,n принадлежит Z ,  новая строка 2x= Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 4 конец дроби ,n принадлежит Z ,  новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z .  конец совокупности .

Заметим, что серия корней  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z содержится в серии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z . Следовательно, решениями исходного уравнения являются числа вида  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z .

б) x_1= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; x_2= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; x_3= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус Пи ; x_4= минус Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; x_5= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; x_6= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; x_7=0.

 

Ответ: а)  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z . б)  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  минус Пи ;  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения